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什么是克罗内克积
克罗内克积是指两个任意大小的矩阵间的运算，表示为
。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德•克罗内克命名。
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克罗内克积的定义
如果A是一个m×n的矩阵，而B是一个p×q的矩阵，克罗内克积
则是一个mp×nq的分块矩阵
更具体地可表示为
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克罗内克积的特性
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双线性和结合律
克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性映射|双线性与结合律：
，，，。
其中，A,B和C是矩阵，而k是常量。
克罗内克积不符合交换律：
通常，A
B不同于B
A。
A
B和B
A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得:
如果A和B是方块矩阵，则A
B和B
A甚至是排列相似矩阵|相似的，也就是说，我们可以取P=QT。
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混合乘积性质
如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A
B是可逆矩阵|可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：
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克罗内克和
如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵，
表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和
为：
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谱
假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1，……，λn为A的特征值，μ1，……，μq为B的特征值。那么A
B的特征值为：
λiμj,i=1,……，n;j=1,……,q。
于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：
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奇异值
如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值分解|奇异值。假设A有rA个非零的奇异值，它们是：
σA,i,i=1,……,rA
类似地，设B的非零奇异值为：
σB,i,i=1,……,rB
那么克罗内克积A
B有rArB个非零奇异值，它们是：
σA,iσB,j, i=1,……,rA, j=1,……,rB
由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：
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与抽象张量积的关系
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1,...,vm}、{w1,...,wn}、{x1,...,xd}和{y1,...,ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S:V→X和T:W→Y，那么矩阵A⊗B表示两个映射的张量积S⊗T:V⊗W→X⊗Y，关于V⊗W的基{v1⊗w1,v1⊗w2,...,v2⊗w1,...,vm⊗wn}和X⊗Y的类似基。
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转置
克罗内克积转置运算符合分配律：
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克罗内克积的矩阵方程
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB=C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。
在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。
如果把X的行堆起来，形成列向量x，则AXB也可以写为
。
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克罗内克积的例子
..
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