克罗内克积
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克罗内克积定义例子特性双线性结合律混合乘积性质克罗内克和与抽象张量积与图的乘积转置矩阵方程历史参考资料数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算.克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名.
定义
A⊗BA \otimes BA⊗B 如果 AAA 是一个 m×nm \times nm×n 的矩阵, 而 BBB 是一个 p×qp \times qp×q 的矩阵, 克罗内克积则是一个 mp×nqm p \times n qmp×nq 的分块矩阵
A⊗B=[a11B⋯a1nB⋮⋱⋮am1B⋯amnB]A \otimes B=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} B & \cdots & a_{1 n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} B & \cdots & a_{m n} B \end{array}\right] A⊗B=⎣⎢⎡a11B⋮am1B⋯⋱⋯a1nB⋮amnB⎦⎥⎤
更具体地可表示为 [1]{ }^{[1]}[1]
A⊗B=[a11b11a11b12⋯a11b1q⋯⋯a1nb11a1nb12⋯a1nb1qa11b21a11b22⋯a11b2q⋯⋯a1nb21a1nb22⋯a1nb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮a11bp1a11bp2⋯a11bpq⋯⋯a1nbp1a1nbp2⋯a1nbpq⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮am1b11am1b12⋯am1b1q⋯⋯amnb11amnb12⋯amnb1qam1b21am1b22⋯am1b2q⋯⋯amnb21amnb22⋯amnb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮am1bp1am1bp2⋯am1bpq⋯⋯amnbp1amnbp2⋯amnbpq].A \otimes B=\left[\begin{array}{cccccccccc} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1 q} & \cdots & \cdots & a_{1 n} b_{11} & a_{1 n} b_{12} & \cdots & a_{1 n} b_{1 q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2 q} & \cdots & \cdots & a_{1 n} b_{21} & a_{1 n} b_{22} & \cdots & a_{1 n} b_{2 q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p 1} & a_{11} b_{p 2} & \cdots & a_{11} b_{p q} & \cdots & \cdots & a_{1 n} b_{p 1} & a_{1 n} b_{p 2} & \cdots & a_{1 n} b_{p q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} b_{11} & a_{m 1} b_{12} & \cdots & a_{m 1} b_{1 q} & \cdots & \cdots & a_{m n} b_{11} & a_{m n} b_{12} & \cdots & a_{m n} b_{1 q} \\ a_{m 1} b_{21} & a_{m 1} b_{22} & \cdots & a_{m 1} b_{2 q} & \cdots & \cdots & a_{m n} b_{21} & a_{m n} b_{22} & \cdots & a_{m n} b_{2 q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} b_{p 1} & a_{m 1} b_{p 2} & \cdots & a_{m 1} b_{p q} & \cdots & \cdots & a_{m n} b_{p 1} & a_{m n} b_{p 2} & \cdots & a_{m n} b_{p q} \end{array}\right] . A⊗B=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11b11a11b21⋮a11bp1⋮⋮am1b11am1b21⋮am1bp1a11b12a11b22⋮a11bp2⋮⋮am1b12am1b22⋮am1bp2⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯a11b1qa11b2q⋮a11bpq⋮⋮am1b1qam1b2q⋮am1bpq⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯a1nb11a1nb21⋮a1nbp1⋮⋮amnb11amnb21⋮amnbp1a1nb12a1nb22⋮a1nbp2⋮⋮amnb12amnb22⋮amnbp2⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯a1nb1qa1nb2q⋮a1nbpq⋮⋮amnb1qamnb2q⋮amnbpq⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤.
例子
[1231]⊗[0321]=[1⋅01⋅32⋅02⋅31⋅21⋅12⋅22⋅13⋅03⋅31⋅01⋅33⋅23⋅11⋅21⋅1]=[0306214209036321]\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right] \otimes\left[\begin{array}{ll}0 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1\end{array}\right][1321]⊗[0231]=⎣⎢⎢⎡1⋅01⋅23⋅03⋅21⋅31⋅13⋅33⋅12⋅02⋅21⋅01⋅22⋅32⋅11⋅31⋅1⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0206319304026231⎦⎥⎥⎤
[a11a12a21a22a31a32]⊗[b11b12b13b21b22b23]=[a11b11a11b12a11b13a12b11a12b12a12b13a11b21a11b22a11b23a12b21a12b22a12b23a21b11a21b12a21b13a22b11a22b12a22b13a21b21a21b22a21b23a22b21a22b22a22b23a31b11a31b12a31b13a32b11a32b12a32b13a31b21a31b22a31b23a32b21a32b22a32b23]\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right] \otimes\left[\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llllll}a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{11} b_{13} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{12} b_{13} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{11} b_{23} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} & a_{12} b_{23} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{21} b_{13} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} & a_{22} b_{13} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{21} b_{23} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{22} b_{23} \\ a_{31} b_{11} & a_{31} b_{12} & a_{31} b_{13} & a_{32} b_{11} & a_{32} b_{12} & a_{32} b_{13} \\ a_{31} b_{21} & a_{31} b_{22} & a_{31} b_{23} & a_{32} b_{21} & a_{32} b_{22} & a_{32} b_{23}\end{array}\right]⎣⎡a11a21a31a12a22a32⎦⎤⊗[b11b21b12b22b13b23]=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11b11a11b21a21b11a21b21a31b11a31b21a11b12a11b22a21b12a21b22a31b12a31b22a11b13a11b23a21b13a21b23a31b13a31b23a12b11a12b21a22b11a22b21a32b11a32b21a12b12a12b22a22b12a22b22a32b12a32b22a12b13a12b23a22b13a22b23a32b13a32b23⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
特性
双线性结合律
克罗内克积是张量积的特殊形式, 因此满足双线性与结合律:
A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗C(ifBandChavethesamesize)(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C(ifAandBhavethesamesize)(kA)⊗B=A⊗(kB)=k(A⊗B)(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)\begin{gathered} A \otimes(B+C)=A \otimes B+A \otimes C \quad \text { (if } B \text { and } C \text { have the same size) } \\ (A+B) \otimes C=A \otimes C+B \otimes C \quad \text { (if } A \text { and } B \text { have the same size) } \\ (k A) \otimes B=A \otimes(k B)=k(A \otimes B) \\ (A \otimes B) \otimes C=A \otimes(B \otimes C) \end{gathered} A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗C(ifBandChavethesamesize)(A+B)⊗C=A⊗C+B⊗C(ifAandBhavethesamesize)(kA)⊗B=A⊗(kB)=k(A⊗B)(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)
其中, A,BA, BA,B 和 CCC 是矩阵, 而 kkk 是常量.
克罗内克积不符合交换律：通常, A⊗BA \otimes BA⊗B 不同于 B⊗AB \otimes AB⊗A .
A⊗BA \otimes BA⊗B 和 B⊗AB \otimes AB⊗A 是置换等价的, 也就是说, 存在置换矩阵 PPP 和 QQQ, 使得
A⊗B=P(B⊗A)QA \otimes B=P(B \otimes A) Q A⊗B=P(B⊗A)Q
如果 AAA 和 BBB 是方块矩阵, 则 A⊗BA \otimes BA⊗B 和 B⊗AB \otimes AB⊗A 甚至是置换相似的, 也就是说, 我们可以取 P=QP=QP=Q .
混合乘积性质
如果A、B、C和 DDD 是四个矩阵, 且矩阵乘积AC和 BDB DBD 存在, 那么:
(A⊗B)(C⊗D)=AC⊗BD(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D})=\mathbf{A} \mathbf{C} \otimes \mathbf{B D} (A⊗B)(C⊗D)=AC⊗BD
这个性质称为“混合乘积性质”, 因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积.于是可以推出, A⊗BA \otimes BA⊗B 是可逆的当且仅当 A\mathbf{A}A 和 B\mathrm{B}B 是可逆的, 其逆矩阵为:
(A⊗B)−1=A−1⊗B−1(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})^{-1}=\mathbf{A}^{-1} \otimes \mathbf{B}^{-1} (A⊗B)−1=A−1⊗B−1
克罗内克和
如果A是 n×nn \times nn×n 矩阵, B是 m×mm \times mm×m 矩阵, Ik\mathbf{I}_{k}Ik 表示 k×kk \times kk×k 单位矩阵, 那么我们可以定义克罗内克和 ⊕\oplus⊕ 为:
A⊕B=A⊗Im+In⊗B.\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}=\mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_{m}+\mathbf{I}_{n} \otimes \mathbf{B} . A⊕B=A⊗Im+In⊗B.
与抽象张量积
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积.特别地, 如果向量空间 V、W、XV 、 W 、 XV、W、X 和 YYY 分别具有基 {v1,…,vm}、{w1,…,\left\{v_{1}, \ldots, v_{m}\right\} 、\left\{w_{1}, \ldots,\right.{v1,…,vm}、{w1,…,, wn}、{x1,…,xd}\left.w_{n}\right\} 、\left\{x_{1}, \ldots, x_{d}\right\}wn}、{x1,…,xd} 和 {y1,…,ye}\left\{y_{1}, \ldots, y_{e}\right\}{y1,…,ye}, 且矩阵 AAA 和 BBB 分别在恰当的基中表示线性变换 S:V→XS: V \rightarrow XS:V→X 和 T:W→YT: W \rightarrow YT:W→Y, 那么矩阵 A⊗BA \otimes BA⊗B 表示两个映射的张 量积 S⊗T:V⊗W→X⊗YS \otimes T: V \otimes W \rightarrow X \otimes YS⊗T:V⊗W→X⊗Y, 关于 V⊗WV \otimes WV⊗W 的基 {v1⊗w1,v1⊗w2,…,v2⊗w1,…,vm⊗wn}\left\{v_{1} \otimes w_{1}, v_{1} \otimes w_{2}, \ldots, v_{2} \otimes w_{1}, \ldots, v_{m} \otimes w_{n}\right\}{v1⊗w1,v1⊗w2,…,v2⊗w1,…,vm⊗wn} 和 X⊗YX \otimes YX⊗Y 的类似基. [2]
与图的乘积
两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵.两个图的邻接矩阵的克罗内克和, 则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵.
转置
克罗内克积转置运算符合分配律:
(A⊗B)T=AT⊗BT(A \otimes B)^{T}=A^{T} \otimes B^{T} (A⊗B)T=AT⊗BT
矩阵方程
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法.例如, 考虑方程 AXB=CA X B=CAXB=C, 其中 A、BA 、 BA、B 和 CCC 是给定的矩阵, XXX 是末知的 矩阵.我们可以把这个方程重写为 (B⊤⊗A)vec(X)=vec(AXB)=vec(C)\left(B^{\top} \otimes A\right) \operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(A X B)=\operatorname{vec}(C)(B⊤⊗A)vec(X)=vec(AXB)=vec(C).
这样, 从克罗内克积的性质可以推出, 方程 AXB=CA X B=CAXB=C 具有唯一的解, 当且仅当 AAA 和 BBB 是非奇异矩阵. (Horn & Johnson 1991, Lemma 4.3.1) .
在这里, vec(X)\operatorname{vec}(X)vec(X) 表示矩阵 XXX 的向量化, 它是把 XXX 的所有列堆起来所形成的列向量.
如果把X的行堆起来, 形成列向量 xxx, 则AXB也可以写为 (A⊗B⊤)x\left(A \otimes B^{\top}\right) x \quad(A⊗B⊤)x (Jain 1989, 2.82.82.8 block Matrices and Kronecker Products).
历史
尽管没有明显证据证明利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名.确实，在历史上，克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵.
参考资料
Van Loan C F. The ubiquitous Kronecker product[J]. Journal of computational and applied mathematics, 2000, 123(1): 85-100.Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1D. E. Knuth: “Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms”, zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A本人水平有限,若有不妥之处, 恳请批评指正.
作者: 图灵的猫
作者邮箱: turingscat@
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