背景
我们都知道,正弦信号和复指数信号是信号处理中非常重要的2大工具。
正弦序列定义为:
x(n)=Acos(wn+φ)x(n)=Acos(wn+\varphi) x(n)=Acos(wn+φ)
其中,A是幅度,w是数字频率,φ\varphiφ为初始相位。
复指数序列定义为
x(n)=Ae(α+jw)nx(n)=Ae^{(\alpha+jw)n} x(n)=Ae(α+jw)n
其中,A为幅度,w为数字频率。
理解
设有一个正弦波
x(t)=Asin(Ωt)x(t)=Asin(\Omega t) x(t)=Asin(Ωt)
,A为幅度,Ω\OmegaΩ为模拟角频率
,单位为弧度/秒(rad/s
),t是连续时间,单位为秒。正弦波的周期为T,它的倒数为模拟频率,简称频率
f=1Tf=\frac{1}{T}f=T1,f的单位是赫兹。
角频率与频率的关系是 Ω=2πf\Omega =2 \pi fΩ=2πf
接下来,我们以采样周期TsT_{s}Ts(单位为s)对正弦波取样,每秒的采样次数fs=1Tsf_{s}=\frac{1}{T_{s}}fs=Ts1,称为采样频率,单位为赫兹。由于离散时间取样点为t=nTst=nT_{s}t=nTs(n为整数),所以取样后得到的正弦序列为
x(n)=x(nTs)=Asin(ΩTsn)x(n)=x(nT_{s})=Asin(\Omega T_{s}n) x(n)=x(nTs)=Asin(ΩTsn)
注意,这个时候自变量由时间t变为了采样点n
。这也是离散时间信号和连续时间信号之间的主要区别。将上式中的ΩTs\Omega T_{s}ΩTs取出,便得到了我们常说的数字频率w
。
w=ΩTsw=\Omega T_{s} w=ΩTs
于是,将前面的式子简化为
x(n)=Asin(wn)x(n)=Asin(wn) x(n)=Asin(wn)
对比可以看出,正弦序列表达式中的w和正弦波表达式中的Ω\OmegaΩ,他们的位置和作用类似。因此将Ω\OmegaΩ称为模拟频率,也可以叫做模拟角频率,单位为rad/s
。而w
的单位是rad
,Ωt\Omega tΩt和wn
的最后单位都是rad
。
我们再将关系式Ω=2πf\Omega =2 \pi fΩ=2πf和f=1Tsf=\frac{1}{T_{s}}f=Ts1代入,可以得到数字频率的另外一种表达形式。
w=2πffsw=2 \pi \frac{f}{f_{s}} w=2πfsf
上式说明,数字频率是一个与采样频率fsf_{s}fs有关的频率度量,即数字频率是模拟频率fff用取样频率归一化后的弧度数。因此,对一个正弦波进行取样,使用的取样频率不同,所得到的正弦序列也不同。
我们再换种思路理解,fsf_{s}fs表示每秒对正弦波取样的点数,f表示正弦波每秒周期性重复的次数(周期数)。因而fs/ff_{s}/ffs/f表示正弦波每个周期内取样点的数目。因此,得到数字频率w的终极含义:每相邻两个取样点的相位所差的弧度数。数字频率w由正弦波的频率f(或角频率Ω\OmegaΩ)和采样频率fsf_{s}fs共同决定。
参考资料
1、《数字信号处理》 姚天任
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