同济大学《高等数学》（第七版）中对于光滑曲线求长以及可求长定理没有做出过多的讨论，只是以可求长为前提推导了长度公式. 若想严谨地证明存在性, 首先需要严格的定义.
(1) 设
是一光滑的曲线, 可以通过参数 和 给出. 我们规定, 分点 的选取必须满足 随着 单调变化. 否则, 可能出现分点反复跳跃导致折线长趋于正无穷. 直观上, 这种现象也是错误的.
(2) 如果使用"
", 我们仍需要规定 上参数和点一一对应, 也就是说 不能和自己相交. 否则, 对于自交曲线 , 部分总可以被跳过, 故不成立.
接下来是定理证明.
引理1: 在上述限定条件的约束下, "
"等价于.
由于难度差异, 这里只证明更为复杂的
.
使用反证法. 即假设构造一个线段序列
, 使得 ，但是存在无穷个 和一个 满足. 因为集合 是闭集, 连续, 值域 存在最小值, 且不为 . 这和 产生矛盾, 所以引理1得证, 条件得到了一个更简单的等价形式.
因为切线连续转动, 我们可以通过类似于一致连续性定理证明的方法证明切线转动的"一致连续性". 所以,
引理2:
如果任意分点序列构造满足, 分成的每一段曲线上的任意两条切线夹角小于.
考虑其中一种
以及对应的一个分点序列构造 . 对于每一段曲线 , 连接两端形成直线 . 在局部建立坐标系, 其中 是原点, 是 轴, 另外建立轴. 曲线上存在距离直线最远的 . 处的切线一定平行于 (或者重合). 如果 不随着 单调变化, 那么存在两点 相同, 两点之间存在一点切线垂直于 处的切线, 矛盾.
进而, 曲线
可以表示为 的形式, 连续. 经过换元, 曲线在原本的坐标系中可以表示为 的形式, 具有连续的导数.
这样一来, 我们实现了
的每一个单独的局部曲线 的参数化表示, 然而, 整个曲线能否实现统一的参数化表示? 答案是肯定的. 只需要通过对各自的参数线性换元进行"拼接", 并保证参数在 (也就是拼接点)的导数连续. 该证明较为简单, 此处略.
注意: 新的参数化的参数为
, 是关于 的连续, 单调的函数. 这样, 和 等价
最后, 直接证明曲线可求长, 随着
折线长的极限为 .
根据引理2, 当
, ,
故有
. 求和, 折线长 .
又因为
, 命题得证.
回归到一开始的假设(2):
不能和自己相交, 否则 的条件不可取. 但在自交的情况下如果把 换为 , 本文引理1以下的证明依然全部成立.
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