平行移动
光滑流形上的所谓移动，就是把某点处的切向量移到另一处，以便进行微分运算。然而我们知道这些切空间之间没有典范同构，所以平行移动就是要给出这些典范同构。这种平行移动是通过一条光滑曲线完成的，所以平行移动必须只依赖于曲线的选取，而不依赖于曲线周围的情况。已有的一种移动是Lie移动，但Lie移动依赖于选取的相流
的周围：最简单的，若 ，则 ，所以显然依赖于整个 。
假设
和 之间已经建立了平行移动，那么就有典范同构。设典范同构是 ，其中 ， 是平行移动的光滑曲线。首先 当然是线性的。其次，在这么一条能够进行平行移动的曲线 上，两次平行移动的叠加必定也是平行移动，即 ，由此， ， 。那么，在给定了 后，就可以计算差值 。即便如此， 仍是未定的。若取 是 的一组基，那么给定展开系数 就能确定典范同构 。但实际上 仍是未知的。不妨直接令 是 上的一组标架，那么 确定的系数 才能确定典范同构。注意到这个系数仍是依赖于 的。我们不妨把 也用标架展开，那么研究无穷小平行移动，微分得 ，其中 且 是 的光滑向量场。令 ，由于我们说，平行移动只依赖于曲线本身，不应该依赖于曲线的重参数化，所以若给 乘上任意 ，平行移动只发生系数的改变，即 。所以 ，即 。为了把平行移动推广到张量场，我们参考Lie导数的性质：Lie导数是张量代数的导子，并且与缩并对易。那么，
引理若
是与缩并对易的张量代数的导子，那么存在和使。
所以只要给定
，平行移动就唯一确定。总结一下，平行移动有以下性质：
(1)
线性：
(2)
线性：
(3)张量代数的导子：
， ，
其中
是光滑张量场， ， ， ， 是缩并算子。称这样定义的算子 是沿 方向的协变导数， 是联络系数。对任意张量场 ，为了计算 ，还需要知道 ，其中 是 的对偶标架。从 出发，由于 ，有 ，由于 所以这又等于 ，从而 ，即 。从而， 。若 ，那么根据 可以算得 。这个转换关系说明联络系数并不构成张量，但仍是 的光滑函数。
如果把
并起来，就得到一个 的算子，直接记作 ，即 。常称它是协变梯度。但它是完全被协变导数决定的，所以没必要单独研究它。它最奇特的特点是，由于上面说了 ，我们实际上有 。
现在用协变导数来定量研究平行移动。若在
上平行移动，那么必须要 ，而根据上面，在局部坐标 下这方程等价于 ，其中 ， ， 。要指出， 确实满足平行移动的那些条件，所以我们确实地找到了平行移动。
一种特殊情况是
。这式有什么含义呢？考虑平直空间中，有一个质点作匀速直线运动。那么它的速度向量在每点都大小相等并且都沿直线朝着行进方向。这就是 在平直空间中的含义：匀速直线运动。在一般的流形上，称满足 的光滑曲线 是测地线，并且在Riemannian流形上，测地线就是“直线”，或者说两点之间距离最短的线。根据上面，在局部坐标 下测地线方程 等价于 ，其中 。也就是说测地线方程是n个2阶常微分方程，那么只要初始位置 和初始速度 给定，则解存在且唯一。
比
更一般一点的情况是 ，是不匀速的直线运动。这可以看成是曲线的重参数化。设 是测地线，微分同胚 是重参数化， 。那么直接计算可得 。显然若 ，那么 。这样的不匀速直线运动 总是能再通过一个重参数化 ，使得 是测地线。若 给定，解 即可。
挠率、曲率和联络
若光滑流形上定义了平行移动
，那么就说流形上定义了联络（仿射联络或线性联络）。
毫无疑问，虽然
不是张量，但还是可以把它分成对称部分和交错部分，即 。而测地线方程是只取决于对称部分的，因为 。令 是交错部分。非常巧合的是，虽然 不是张量，但 是张量：
命题算子
定义的(1,2)型张量是。
称
是挠率。由定义可得其反对称性： ，那么它只有 个独立分量。当挠率为零，那么联络系数是对称的，此时称联络是无挠的或者对称的。
现在引入联络1-形式。在局部标架
下联络1-形式就是 ，其中 是 的对偶标架。根据上一节，若有坐标变换 ，那么 。我们完全可以把联络1-形式看成矩阵值1-形式，即 ， ，且 ，从而坐标变换可写为 ，且 。在三个图的交 上，有 到 的坐标变换 和 到 的坐标变换 ，那么两次变换后 ，联络1-形式满足 ，这说明 也是坐标变换，从而可以把局部的联络1-形式拼到全流形上。
根据
一式，可以凑一个满足 的张量。称 是曲率2-形式。写成分量就是 。令 的对偶标架是 ，那么 是2-形式，并且 就是挠率。称 和 两式是Cartan结构方程。在坐标变换 下挠率按 变换。
类似于挠率2-形式
，曲率2-形式也可以通过 定义，所以实际上有一个算子 ，使得 是(1,1)型张量场。根据定义，容易发现：
命题算子
定义的(1,3)型张量是。
其中
。称 是曲率。由定义，其系数关于 是反对称的： 。并且 根据 。当 ，此时 ，所以 。
积分流形
现在插入一节与上面毫无关联的内容。但是读者很快（下一节）就会发现这一节的用处。
令
是光滑流形。称 的一个k-秩的子丛是 上的一个k-秩分布（此分布不同于广义函数，为了消除歧义，也称其为切分布）。如果它是光滑子丛则成为光滑分布。通常通过在每一点 的切空间 指定一个k维子空间 来得到光滑分布 ，而根据前面的结论，这等价于给出k个（局部）光滑向量场 ，使得 在每个 都是一组基。此时称 张成了 ，或称它是一个k维流(current)。称 是对合分布，若 ，有 。事实上这就是Lie代数的结构函数的定义： 。
引理k-秩分布
是光滑的，当且仅当，存在n-k个定义在邻域上的相互独立的1-形式使。
称这样定义的
是光滑分布 的局部定义形式。称一个p-形式 湮灭 ，若从 的流 中任选p个 ，那么 。如果1-形式湮灭 ，那么等价于 ， 。
命题
是开子集上的k-秩光滑分布的局部定义形式。那么下述三者等价：(1)在上是对合分布；(2)都湮灭；(3) 对每个，存在n-k个光滑1-形式，使。
可以验证，若
是独立的1-形式，那么p-形式 可以写作 当且仅当 ，其中 是一些(p-1)-形式。进而由上面命题的(3)，可得 是对合的当且仅当它的局部定义形式 满足 ，其中 。
称非空浸入光滑子流形
是光滑分布 的积分流形，若任意 都有 。如果流形上每一点都被 的一个积分流形所包含，则称 是可积的。如果 存在一个光滑图 ，它的像 是 中的正方体（即形如 ），并且 由前k个 张成，则称 是完全可积的。
定理(Frobenius)光滑分布的完全可积性、可积性与对合性是等价的。
由于局部定义形式都是1-形式，所以也许存在n-k个光滑函数
使 。完全可积的定义说明 也是一组局部定义形式，从而 ，而 ，两式一比较就得到 对于 ，这说明 ，即 给出的积分流形与 一致。称 是Pfaff方程组，称函数 是Pfaff方程组的解。根据上面分析， 给出了分布 的积分流形，其中 是一些常数。
称一个光滑子流形
是弱嵌入的，若任意满足 的流形间光滑映射 也是 的光滑映射。由Frobenius定理，有下述推论：
命题对合分布的积分流形是弱嵌入的。
而可以证明的是，Lie子群都是某个对合分布的积分流形，从而是弱嵌入的。
令
是 的一些k维光滑子流形的集族。称一个光滑图 是 的一个flat，若 是正方体，且 ， 为空集，或 由形如 的可数多个k维切片的并组成。称 是一个k维叶汇(foliation)，若它由非空、不相交、连通的k维浸入光滑子流形组成，并且这些子流形的并是 ，且 上任意点都存在一个 的flat。下面这个定理是所谓全域Frobenius定理：
定理
是光滑流形的对合分布，那么的所有极大的连通积分流形的集族是一个叶汇。
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