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fjd小弟：光滑流形初步(2)——切向量与微分
上一次讲了切向量与微分(切映射),光看那堆数学语言可能不那么好理解,这次就直接给出一些例子来建立直观.
例. 维球面 在 处的切空间.
设
为 上经过 的光滑曲线, .两边关于 求导,就有 ,这说明 .另一方面,对 ,若 ,考虑 ,则 ,这说明 .从而 .
问题:这个例子里的切向量跟之前所说的算子矛盾吗？
例.计算 的微分.
取
中坐标系为 , 中坐标系为 ,则 , 可写成 . ,
一般地,对于
,取 ,则
这就是一般欧氏空间之间向量值函数的微分的计算.
矩阵群
矩阵群是流形的一类很好的例子,而一般的典型群都是
群,为方便讨论,下面引入一点 群的概念:
定义(Lie群).若集合 上有相容的群结构和流形结构,即群运算 是光滑的,则称 是一个 群.
意思就是说
群本身是个光滑流形,在这个流形上还有一个对应的光滑群结构.
下面先介绍一些典型群.
定义(典型群).一般线性群 , 特殊线性群 ,一般正交群 ，特殊正交群 ,酉群 ,特殊酉群 .
暂时先用这些所以就先介绍这些,GTM222中对这些矩阵群有着详细的叙述.
下面介绍重要的指数映照:
定义(指数映照).设 或 , 为有限维 -线性空间,记 为 上 -线性变换构成的 线性空间, 为 上可逆 -线性变换, 在复合运算下构成一个 群,称为一般线性群. ,定义指数映照为 .性质.1)若 ,则 ;2) ;3) ;4) .
上述性质请读者自行验证.
注:对
是一条经过 的光滑曲线.
由前面的结论,流形的切空间维数与流形本身的维数是相等的,而矩阵群又可以看作是欧氏空间中的一个子集,所以下面我们可以利用指数映照来计算矩阵群的切空间.
例.一般线性群
因为对
, , 经过 ,且满足 ,故 .
例.一般正交群
取
,作指数映照 ,要使 ,需要满足 .两边对 求导,可得 ,即 为 的必要条件.另一方面,若 ,则 ,从而 .故 .进而 .
类似地可以证明,
, , , , , .
这些结果可以由读者仿照例子自行验算.
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