UA MATH571B 试验设计III 单因素试验设计3

Contrast多个contrast的联合推断配对比较Tukey检验Fisher Least Significant Difference方法Dunnett方法

在单因素ANOVA模型中，有时需要对treatment effect做一些其他比较。以下方法就是用来各种不同的比较的。

Contrast

在均值模型中

yij=μi+ϵij,ϵij∼iidN(0,σ2)i=1,2,⋯,a;j=1,2,⋯,ny_{ij} = \mu_i+ \epsilon_{ij},\epsilon_{ij}\sim_{iid}N(0,\sigma^2)\\ i = 1,2,\cdots,a; j=1,2,\cdots,n yij​=μi​+ϵij​,ϵij​∼iid​N(0,σ2)i=1,2,⋯,a;j=1,2,⋯,n

假设要做下列假设检验

H0:L=∑i=1aciμi=L0H_0:L = \sum_{i=1}^a c_i \mu_i=L_0 H0​:L=i=1∑a​ci​μi​=L0​

其中cic_ici​可以是任何常数。先考虑LLL的估计量

L^=∑i=1aciμ^i=∑i=1aciyˉi.\hat{L} = \sum_{i=1}^a c_i \hat{\mu}_i = \sum_{i=1}^a c_i \bar{y}_{i.} L^=i=1∑a​ci​μ^​i​=i=1∑a​ci​yˉ​i.​

显然这个估计量是正态的，其方差为

Var(L^)=∑i=1aci2Var(yˉi.)=∑i=1aci2σ2niVar(\hat{L}) = \sum_{i=1}^a c_i^2 Var(\bar{y}_{i.}) =\sum_{i=1}^a c_i^2 \frac{\sigma^2}{n_i} Var(L^)=i=1∑a​ci2​Var(yˉ​i.​)=i=1∑a​ci2​ni​σ2​

其中σ2\sigma^2σ2的估计量是MSEMSEMSE，由此可以构造t统计量

L^−L0MSE∑i=1aci2ni∼t(N−a)\frac{\hat{L}-L_0}{\sqrt{MSE \sum_{i=1}^a \frac{c_i^2 }{n_i}}} \sim t(N-a) MSE∑i=1a​ni​ci2​​​L^−L0​​∼t(N−a)

用t检验来做。

在上面的线性组合中，如果∑i=1aci=0\sum_{i=1}^a c_i=0∑i=1a​ci​=0，则称这样的线性组合为一个contrast，定义此时的线性组合为Γ=∑i=1aciμi\Gamma = \sum_{i=1}^a c_i\mu_iΓ=∑i=1a​ci​μi​，通常关于constrast的检验是H0:Γ=0H_0:\Gamma=0H0​:Γ=0，这个检验也用t检验做。如果两个contrast的系数cic_ici​和did_idi​满足

∑i=1acidini=0\sum_{i=1}^a c_id_in_i=0 i=1∑a​ci​di​ni​=0

则称这两个contrast正交。需要注意的是contrast是在试验之前要设计好的，避免做了试验拿到了数据之后再来选哪些检验能显著！

多个contrast的联合推断

假设要做多个contrast的假设检验

H0:Γ1=Γ10,⋯,Γm=Γm0H_0:\Gamma_1=\Gamma_{10},\cdots,\Gamma_m=\Gamma_{m0} H0​:Γ1​=Γ10​,⋯,Γm​=Γm0​

假设CI1,⋯,CImCI_1,\cdots,CI_mCI1​,⋯,CIm​是每一个contrast的100(1−α)%100(1-\alpha)\%100(1−α)%置信区间，则

P(Γi0∉CIi∣H0)=αP(\Gamma_{i0} \notin CI_i|H_0)=\alphaP(Γi0​∈/​CIi​∣H0​)=α

但要要拒绝原假设，只需要任一Γi0∉CIi\Gamma_{i0} \notin CI_iΓi0​∈/​CIi​，根据Bonferroni不等式，假设要让在原假设成立时拒绝原假设的概率保持为α\alphaα，需要P(Γi0∉CIi∣H0)=α′P(\Gamma_{i0} \notin CI_i|H_0)=\alpha'P(Γi0​∈/​CIi​∣H0​)=α′

P(atleastoneiΓi0∉CIi∣H0)≤∑i=1mP(Γi0∉CIi∣H0)=mα′P(at\ least\ one\ i\, \Gamma_{i0} \notin CI_i|H_0) \le \sum_{i=1}^m P(\Gamma_{i0} \notin CI_i|H_0) = m\alpha' P(atleastoneiΓi0​∈/​CIi​∣H0​)≤i=1∑m​P(Γi0​∈/​CIi​∣H0​)=mα′

近似地可以有α′=α/m\alpha'=\alpha/mα′=α/m。如果这些constrastconstrastconstrast是正交了，它们的估计量就是独立的，因此上式可以直接取等，并且可以用一个ANOVA同时做这个检验。α′=α/m\alpha'=\alpha/mα′=α/m表明如果希望假阳性是α\alphaα，那么每一个置信区间CIiCI_iCIi​需要用置信水平100(1−α/m)%100(1-\alpha/m)\%100(1−α/m)%来构造，这种做联合推断的调整叫Bonferroni调整。

另一种做联合推断的方法是Scheffe方法。根据Scheffe方法构造的单个contrast的置信区间为

Γ^i−(a−1)Fα,a−1,N−aMSE∑i=1aci2ni≤Γi≤Γ^i+(a−1)Fα,a−1,N−aMSE∑i=1aci2ni≤Γi\hat{\Gamma}_i - \sqrt{(a-1)F_{\alpha,a-1,N-a}} \sqrt{MSE \sum_{i=1}^a \frac{c_i^2 }{n_i}}\le \Gamma_i \le \hat{\Gamma}_i + \sqrt{(a-1)F_{\alpha,a-1,N-a}} \sqrt{MSE \sum_{i=1}^a \frac{c_i^2 }{n_i}}\le \Gamma_i Γ^i​−(a−1)Fα,a−1,N−a​​MSEi=1∑a​ni​ci2​​​≤Γi​≤Γ^i​+(a−1)Fα,a−1,N−a​​MSEi=1∑a​ni​ci2​​​≤Γi​

如果mmm比较大就用Scheffe，如果mmm比较小就用Bonferroni。

配对比较

假设要对所有的treatment group mean做两两比较，∀i≠j\forall i \ne j∀i​=j

H0:μi=μjHa:μi≠μjH_0: \mu_i = \mu_j \\ H_a: \mu_i \ne \mu_j H0​:μi​=μj​Ha​:μi​​=μj​

Tukey检验

如果试验是平衡的，可以用Tukey检验，如果试验是不平衡的，可以用Tukey-Kramer方法。因为思路都一样，这里介绍Tukey检验。首先构造

q=yˉmax−yˉminMSE/nq=\frac{\bar{y}_{max}-\bar{y}_{min}}{\sqrt{MSE/n}} q=MSE/n​yˉ​max​−yˉ​min​​

其中yˉmax\bar{y}_{max}yˉ​max​与yˉmin\bar{y}_{min}yˉ​min​是待比较的ppp个组内平均的最大值和最小值，它的分布可以查表，记为qα(p,f)q_{\alpha}(p,f)qα​(p,f)，其中α\alphaα是百分比，qαq_{\alpha}qα​代表上分位点，fff是MSEMSEMSE的自由度。Tukey检验给出的μi−μj\mu_i-\mu_jμi​−μj​的置信区间边界

yˉi.−yˉj.±qα(a,f)MSE/n\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{j.} \pm q_{\alpha}(a,f)\sqrt{MSE/n} yˉ​i.​−yˉ​j.​±qα​(a,f)MSE/n​

Fisher Least Significant Difference方法

因为两总体比较μi−μj\mu_i-\mu_jμi​−μj​的置信区间边界可以写成

yˉi.−yˉj.±tα/2,N−aMSE(1ni+1nj)\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{j.} \pm t_{\alpha/2,N-a}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})} yˉ​i.​−yˉ​j.​±tα/2,N−a​MSE(ni​1​+nj​1​)​

定义

LSD=tα/2,N−aMSE(1ni+1nj)LSD = t_{\alpha/2,N-a}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})} LSD=tα/2,N−a​MSE(ni​1​+nj​1​)​

为Least Significant Difference，代表置信区间的长度。用这个值进行比较的过程是计算∣yˉi.−yˉj.∣|\bar{y}_{i.} - \bar{y}_{j.}|∣yˉ​i.​−yˉ​j.​∣，如果比LSD大就认为μi−μj\mu_i-\mu_jμi​−μj​显著异于0。

Dunnett方法

如果有一组是对照组，那么实验组的结果都要与它比较。假设对照组是第aaa组，则需要做的假设检验是∀i=1,⋯,a−1\forall i=1,\cdots,a-1∀i=1,⋯,a−1，

H0:μi=μaHa:μi≠μaH_0: \mu_i = \mu_a \\ H_a:\mu_i \ne \mu_a H0​:μi​=μa​Ha​:μi​​=μa​

Dunnett方法与Fisher LSD比较像，都是给一个判别值判断均值的差是否超过了判别值。Dunnett方法的判别值是

dα(a−1,N−a)MSE(1ni+1nj)d_{\alpha}(a-1,N-a)\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})} dα​(a−1,N−a)MSE(ni​1​+nj​1​)​

需要注意的是α\alphaα是这a−1a-1a−1个假设检验的联合type I error。

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