问题补充:
如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F,与AB分别相交于点G、H,且EH的延长线与CB的延长线交于点D,则CD的长为________.
答案:
+1
解析分析:先连接OE、OF,由于ACBC是切线,可知∠OEC=∠OFC=90°,又OE=OF,∠C=90°,可证四边形CEOF是正方形,易得OE∥BC,而O是AB的中点,利用平行线分线段成比例定理的推论,可证AE=CE,易求AE=CE=1,即OH=1,利用OE∥CD,可得△OEH∽△BDH,利用相似三角形的性质可求BD,从而易求CD.
解答:解:如右图所示,连接OE、OF,
∵⊙O与AC、BC切于点E、F,
∴∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF,
又∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠C=90°,
∴四边形CEOF是正方形,
∴OE∥BC,
又∵O是AB的中点,
∴AE=CE,
又∵AC=2,
∴AE=CE=1,
∴OE=OF=CE=1,
∴OH=1,
∵OE∥CD,
∴△OEH∽△BDH,
∴=,
又∵AB==2,
∴OB=,
∴=,
∴BD=-1,
∴CD=2+BD=+1.
点评:本题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、切线的性质.解题的关键是构造正方形CEOF.
如图 △ABC是等腰直角三角形 AC=BC=2 以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC BC相切于点E F 与AB分别相交于点G H 且EH的延长线与CB的延长线交于
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