问题补充:
已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A的坐标(4,0),C的坐标(0,-2),直线y=-x与边BC相交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;
(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵D在BC上,BC∥x轴,C(0,-2),
∴设D(x,-2)
∵D在直线y=-x上,
∴-2=-x,x=3,
∴D(3,-2);
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O;
∴,
解得:;
故所求的二次函数解析式为y=-x;
(3)假设存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形;
①若以OA为底,BC∥x轴,抛物线是轴对称图形,
∴点M的坐标为(1,-2);
②若以OD为底,过点A作OD的平行线交抛物线为点M,
∵直线OD为y=-x,
∴直线AM为y=-x+;
∴-x+=-x
解得:x1=-1,x2=4,(舍去)
∴点M的坐标为(-1,);
③若以AD为底,过点O作AD的平行线交抛物线为点M,
∵直线AD为y=2x-8,
∴直线OM为y=2x,
∴2x=-x,
解得:x1=7,x2=0(舍去);
∴点M的坐标为(7,14).
∴综上所述,当点M的坐标为(1,-2)、(-1,)、(7,14)时,以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形.
解析分析:(1)由于BC∥x轴,那么B、C两点的纵坐标相同,已知了点C的坐标,将其纵坐标代入直线OD的解析式中,即可求得点D的坐标;
(2)已知抛物线图象上的A、O、D三点坐标,可利用待定系数法求得该抛物线的解析式;
(3)此题应分作三种情况考虑:
①所求的梯形以OA为底,那么OA∥DM,由于抛物线是轴对称图形,那么D点关于抛物线对称轴的对称点一定满足M点的要求,由此可得M点的坐标;
②所求的梯形以OD为底,那么OD∥AM,所以直线AM、直线OD的斜率相同,已知点AD的坐标,即可确定直线AM的解析式,联立抛物线的解析式,即可确定点M的坐标;
③所求的梯形以AD为底,那么AD∥OM,参照②的解题思路,可先求出直线AD的解析式,进而确定直线OM的解析式,联立抛物线的解析式,即可求得点M的坐标.
点评:此题考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、梯形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识.同时还考查了分类讨论的数学思想,难度较大.
已知 矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示 A的坐标(4 0) C的坐标(0 -2) 直线y=-x与边BC相交于点D.(1)求点D的坐标;(2)抛物线y=ax2
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