数值分析(11)-数值积分

整理一下数值分析的笔记~

目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分(THIS)

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

1. 基本概念

定义1：若求积公式：∫abf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)∫ab​f(x)dx≈∑k=0n​Ak​f(xk​)对于f(x)=xj(j=0,1,2...,m)f(x)=x^j(j=0,1,2...,m)f(x)=xj(j=0,1,2...,m)都精确成立，但对f(x)=−xm+1f(x)=-x^{m+1}f(x)=−xm+1不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

例：确定形如∫03f(x)dx≈A0f(0)+A1f(1)+A2f(2)\int _0^3f(x)dx \approx A_0f(0)+A_1f(1)+A_2f(2)∫03​f(x)dx≈A0​f(0)+A1​f(1)+A2​f(2)的求积公式。

解：令公式对f(x)=1,x,x2f(x)=1,x,x^2f(x)=1,x,x2都精确成立，则：

{A0+A1+A2=3A1+3A2=92A1+9A2=9解方程得求积公式，该公式对f(x)=x2成立但对f(x)=x3不成立，代数精度为2.\begin{cases} A_0+A_1+A_2=3\\ A_1+3A_2=\frac{9}{2}\\ A_1+9A_2=9 \end{cases}\\ 解方程得求积公式，该公式对f(x)=x^2成立\\但对f(x)=x^3不成立，代数精度为2. ⎩⎪⎨⎪⎧​A0​+A1​+A2​=3A1​+3A2​=29​A1​+9A2​=9​解方程得求积公式，该公式对f(x)=x2成立但对f(x)=x3不成立，代数精度为2.

插值型求积公式：在积分区间[a,b][a,b][a,b]上取n+1n+1n+1个节点xi,i=0,1,2,...,nx_i,i=0,1,2,...,nxi​,i=0,1,2,...,n作f(x)f(x)f(x)的nnn次代数插值多项式(拉格朗日插值公式)：In(x)=∑j=0nlj(x)f(xj)，有f(x)=Ln(x)+Rn(x)I_n(x)=\sum^n_{j=0}l_j(x)f(x_j)，有f(x)=L_n(x)+R_n(x)In​(x)=∑j=0n​lj​(x)f(xj​)，有f(x)=Ln​(x)+Rn​(x)，其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)R_n(x)=\frac{f^(n+1)(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​ωn+1​(x)为插值余项，ωn+1(x)=∏k=0n(x−xk)\omega_{n+1}(x)=\prod^n_{k=0}(x-x_k)ωn+1​(x)=∏k=0n​(x−xk​)，于是有:

∫abf(x)dx=∫1bLn(x)dx+∫abRn(x)dx=∑j=0n[∫ablj(x)dx]f(xj)+∫abR(x)dx\int_a^bf(x)dx=\int_1^bL_n(x)dx+\int_a^bR_n(x)dx\\ =\sum_{j=0}^n\left[\int_a^bl_j(x)dx\right]f(x_j)+\int_a^bR(x)dx ∫ab​f(x)dx=∫1b​Ln​(x)dx+∫ab​Rn​(x)dx=j=0∑n​[∫ab​lj​(x)dx]f(xj​)+∫ab​R(x)dx

取∫abf(x)dx≈∑k=0nf(xk)Ak=∑k=0nf(xk)∫ablk(x)dx\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{k=0}^n f(x_k)A_k=\sum_{k=0}^n f(x_k)\int_a^bl_k(x)dx∫ab​f(x)dx≈∑k=0n​f(xk​)Ak​=∑k=0n​f(xk​)∫ab​lk​(x)dx

Ak=∫ab∏i=0,i!=knx−xixk−xidxA_k=\int_a^b \prod_{i=0,i!=k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}dxAk​=∫ab​∏i=0,i!=kn​xk​−xi​x−xi​​dx取决于节点，与f(x)f(x)f(x)无关，称为插值型求积公式。

截断误差：

R[f]=∫abf(x)dx−∑k=0nAkf(xk)=∫ab[f(x)−Ln(x)]dx=∫abfn+1(ξx)(n+1)!∏k=0n(x−xk)dxR[f]=\int_a^bf(x)dx-\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)\\=\int_a^b[f(x)-L_n(x)]dx\\ =\int_a^b\frac{f^{n+1}(\xi_x)}{(n+1)!}\prod_{k=0}^n(x-x_k)dx R[f]=∫ab​f(x)dx−k=0∑n​Ak​f(xk​)=∫ab​[f(x)−Ln​(x)]dx=∫ab​(n+1)!fn+1(ξx​)​k=0∏n​(x−xk​)dx

2. Newton-Cotes公式

牛顿-科特茨公式指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。

In(f)=∑k=0nAkf(xk)=(b−a)∑k=0nf(xk)其中Ck(n)=(−1)n−kn⋅k!⋅(n−k)!∫0n∏0≤j≤n,j!=k(t−j)dt称为Cotes系数只与k和n有关，且满足Ck(n)=Cn−k(n)，∑j=0nCj(n)=1I_n(f)=\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)=(b-a)\sum_{k=0}^nf(x_k)\\ 其中 C_k^{(n)}\\=\frac{(-1)^{n-k}}{n \cdot k! \cdot(n-k)!}\int_0^n \prod_{0 \leq j \leq n,j!=k}(t-j)dt\\ 称为Cotes系数只与k和n有关，且满足\\ C_k^{(n)}=C_{n-k}^{(n)}，\sum_{j=0}^nC_j^{(n)}=1 In​(f)=k=0∑n​Ak​f(xk​)=(b−a)k=0∑n​f(xk​)其中Ck(n)​=n⋅k!⋅(n−k)!(−1)n−k​∫0n​0≤j≤n,j!=k∏​(t−j)dt称为Cotes系数只与k和n有关，且满足Ck(n)​=Cn−k(n)​，j=0∑n​Cj(n)​=1

低阶牛顿-科特茨公式及其余项

n=1,2,4时公式最常用，称为低阶公式

n=1，梯形公式

Cotes系数：

C0(1)=−∫01(t−1)dt=0.5C1(1)=∫01tdt=0.5C_0^{(1)}=-\int_0^1(t-1)dt=0.5\\ C_1^{(1)}=\int_0^1tdt=0.5 C0(1)​=−∫01​(t−1)dt=0.5C1(1)​=∫01​tdt=0.5

求积公式：

I1(f)=(b−1)∑k=01Ck(1)f(xk)=(b−a)2[f(x0)+f(x1)]n=1时取x0=a,x1=b,h=b−a记为T=I1(f)I_1(f)=(b-1)\sum_{k=0}^1C_k^{(1)}f(x_k)\\ =\frac{(b-a)}{2}[f(x_0)+f(x_1)]\\ n=1时取x_0=a,x_1=b,h=b-a\\ 记为T=I_1(f) I1​(f)=(b−1)k=0∑1​Ck(1)​f(xk​)=2(b−a)​[f(x0​)+f(x1​)]n=1时取x0​=a,x1​=b,h=b−a记为T=I1​(f)

余项为:

R(T)=R(I1)=∫abR1(x)dx,Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)R(T)=∫abf′′(ξ)2(x−a)(x−b)dx=f′′(η)2∫ab(x−a)(x−b)dx,η∈[a,b]=−(b−a)312f′′(η),有∣R(T)∣≤(b−a)32M2,M2=maxx∈[a,b]∣f′′(x)∣,梯形公式具有一阶代数精度。R(T)=R(I_1)=\int_a^bR_1(x)dx,\\ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)\\ R(T)=\int_a^b\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)dx\\ =\frac{f''(\eta)}{2}\int_a^b(x-a)(x-b)dx,\eta \in [a,b]\\ =-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\eta),\\ 有|R(T)|\leq \frac{(b-a)^3}{2}M_2,\\ M_2=max_{x \in[a,b]}|f''(x)|,\\ 梯形公式具有一阶代数精度。 R(T)=R(I1​)=∫ab​R1​(x)dx,Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​ωn+1​(x)R(T)=∫ab​2f′′(ξ)​(x−a)(x−b)dx=2f′′(η)​∫ab​(x−a)(x−b)dx,η∈[a,b]=−12(b−a)3​f′′(η),有∣R(T)∣≤2(b−a)3​M2​,M2​=maxx∈[a,b]​∣f′′(x)∣,梯形公式具有一阶代数精度。

n=2，Simpson公式/三点公式/抛物线公式

Cotes系数

C0(2)=14∫02(t−1)(t−2)dt=16C1(2)=−12∫02t(t−2)dt=46C2(2)=14∫02(t−1)tdt=16C_0^{(2)}=\frac{1}{4}\int_0^2(t-1)(t-2)dt=\frac{1}{6}\\ C_1^{(2)}=\frac{-1}{2}\int_0^2t(t-2)dt=\frac{4}{6}\\ C_2^{(2)}=\frac{1}{4}\int_0^2(t-1)tdt=\frac{1}{6} C0(2)​=41​∫02​(t−1)(t−2)dt=61​C1(2)​=2−1​∫02​t(t−2)dt=64​C2(2)​=41​∫02​(t−1)tdt=61​

求积公式：

I2(f)=(b−a)∑k=02Ck(2)f(xk)=(b−a)[16f(x0)+46f(x1)+16f(x2)],n=2时取x0=a,x1=b+a2,x2=b,h=b−a2记为S=I2(f)I_2(f)=(b-a)\sum_{k=0}^2C_k^{(2)}f(x_k)\\ =(b-a)[\frac{1}{6}f(x_0)+\frac{4}{6}f(x_1)+\frac{1}{6}f(x_2)],\\ n=2时取\\x_0=a,x_1=\frac{b+a}{2},x_2=b,h=\frac{b-a}{2}\\ 记为S=I_2(f) I2​(f)=(b−a)k=0∑2​Ck(2)​f(xk​)=(b−a)[61​f(x0​)+64​f(x1​)+61​f(x2​)],n=2时取x0​=a,x1​=2b+a​,x2​=b,h=2b−a​记为S=I2​(f)

余项：

R(S)=R(I2)=∫abR2(x)dx=−b−a180(b−a2)4f(4)(η)≤(b−a)52880M4其中M4=maxx∈[a,b]∣f(4)(x)∣Simpson公式具有3阶代数精度。R(S)=R(I_2)=\int_a^bR_2(x)dx\\= -\frac{b-a}{180}\left(\frac{b-a}{2}\right)^4f^{(4)}(\eta)\leq \frac{(b-a)^5}{2880}M_4\\ 其中M_4=max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|\\ Simpson公式具有3阶代数精度。 R(S)=R(I2​)=∫ab​R2​(x)dx=−180b−a​(2b−a​)4f(4)(η)≤2880(b−a)5​M4​其中M4​=maxx∈[a,b]​∣f(4)(x)∣Simpson公式具有3阶代数精度。

n=4，Cotes公式/五点公式

Cotes系数

C0(4)=14⋅4!∫04(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)dt=7/90C1(4)=14⋅3!∫04t(t−2)(t−3)(t−4)dt=16/45C2(4)=14⋅2!⋅2!∫04t(t−1)(t−3)(t−4)dt=2/15C3(4)=14⋅3!∫04t(t−1)(t−2)(t−4)dt=16/45C4(4)=14⋅4!∫04t(t−1)(t−2)(t−3)dt=7/90C_0^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 4!}\int_0^4(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)dt=7/90\\ C_1^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 3!}\int_0^4t(t-2)(t-3)(t-4)dt=16/45\\ C_2^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 2! \cdot 2!}\int_0^4t(t-1)(t-3)(t-4)dt=2/15\\ C_3^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 3!}\int_0^4t(t-1)(t-2)(t-4)dt=16/45\\ C_4^{(4)}\\=\frac{1}{4 \cdot 4!}\int_0^4t(t-1)(t-2)(t-3)dt=7/90 C0(4)​=4⋅4!1​∫04​(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)dt=7/90C1(4)​=4⋅3!1​∫04​t(t−2)(t−3)(t−4)dt=16/45C2(4)​=4⋅2!⋅2!1​∫04​t(t−1)(t−3)(t−4)dt=2/15C3(4)​=4⋅3!1​∫04​t(t−1)(t−2)(t−4)dt=16/45C4(4)​=4⋅4!1​∫04​t(t−1)(t−2)(t−3)dt=7/90

求积公式：

I4(f)=(b−a)∑k=04Ck(4)f(xk)=(b−a)[790f(x0)+3290f(x1)+1290f(x2)+3290f(x3)+790f(x4)]I_4(f)=(b-a)\sum_{k=0}^4C_k^{(4)}f(x_k)\\ =(b-a)[\frac{7}{90}f(x_0)+\frac{32}{90}f(x_1)+\\ \frac{12}{90}f(x_2)\\+\frac{32}{90}f(x_3)+\frac{7}{90}f(x_4)] I4​(f)=(b−a)k=0∑4​Ck(4)​f(xk​)=(b−a)[907​f(x0​)+9032​f(x1​)+9012​f(x2​)+9032​f(x3​)+907​f(x4​)]

余项：

R(C)=R(I4)CI4(f)=∫abR4(x)dx=−2(b−1)945(b−a4)6f(6)(η)Cotes公式具有五次代数精度R(C)=R(I_4)\\ CI_4(f)=\int_a^bR_4(x)dx\\ =-\frac{2(b-1)}{945}(\frac{b-a}{4})^6f^{(6)}(\eta)\\ Cotes公式具有五次代数精度 R(C)=R(I4​)CI4​(f)=∫ab​R4​(x)dx=−9452(b−1)​(4b−a​)6f(6)(η)Cotes公式具有五次代数精度

Cotes系数：

例：用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分I=∫0141+x2I=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}I=∫01​1+x24​的近似值。

解

f(x)=41+x2,a=0,b=1;精确值∫0141+x2dx=4arctanx∣01=πf(x)=\frac{4}{1+x^2},a=0,b=1;\\ 精确值\int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx=4arctanx|_0^1=\pif(x)=1+x24​,a=0,b=1;精确值∫01​1+x24​dx=4arctanx∣01​=π

梯形公式：

I≈T=I1(f)=b−a2[f(a)+f(b)]=12[4+2]=3I \approx T=I_1(f)=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]=\frac{1}{2}[4+2]=3I≈T=I1​(f)=2b−a​[f(a)+f(b)]=21​[4+2]=3Simpson公式：

I≈S=I2(f)=b−a[f(a)+4f(b+12)+f(b)]=16[4+645+2]≈3.13333I \approx S=I_2(f)=\frac{b-a}[f(a)+4f(\frac{b+1}{2})+f(b)]\\ =\frac{1}{6}[4+\frac{64}{5}+2]\approx3.13333I≈S=I2​(f)=[b−a​f(a)+4f(2b+1​)+f(b)]=61​[4+564​+2]≈3.13333Cotes 公式：

I≈S=I4(f)=b−190[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]=190[28]+326417+12165+326425+14]≈3.1421176I \approx S=I_4(f)\\ =\frac{b-1}{90}[7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)\\+32f(x_3)+7f(x_4)]\\ =\frac{1}{90}[28]+32\frac{64}{17}+12\frac{16}{5}+32\frac{64}{25}+14]\\\approx 3.1421176 I≈S=I4​(f)=90b−1​[7f(x0​)+32f(x1​)+12f(x2​)+32f(x3​)+7f(x4​)]=901​[28]+321764​+12516​+322564​+14]≈3.1421176

3. 复合求积公式

问题1.高次插值有Runge现象→\rarr→分段低次插值

问题2.高阶牛顿-舒尔茨数值不稳定，低阶不满足精度要求→\rarr→积分区间[a,b]分成若干区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。

3.1复合求积公式：

∫abf(x)dx=∑k=0n−1∫xkxk+1f(x)dx≈∑k=0n−1Il(k)=h∑k=0(n−1)∑i=0lCi(l)f(xx+ij)=In\int_a^bf(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx\\ \approx \sum_{k=0}^{n-1}I_l^{(k)}=h\sum_{k=0}^{(n-1)}\sum_{i=0}^lC_i^{(l)}f(x_{x+\frac{i}j})=I_n ∫ab​f(x)dx=k=0∑n−1​∫xk​xk+1​​f(x)dx≈k=0∑n−1​Il(k)​=hk=0∑(n−1)​i=0∑l​Ci(l)​f(xx+ji​​)=In​

可得：

l=1,符合梯形求积公式∫abf(x)dx≈b−a2n[f(a)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]l=2,符合Simpson求积公式∫abf(x)dx≈Sn=b−a6n[f(a)+4∑k=0n−1f(xk+12)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]l=4,复合Cotes求积公式∫abf(x)dx≈Cn=b−a90[7f(a)+∑k=0n−1[32f(xk+14)+12f(xk+24)+32f(xk+34)]+14∑k=1n−1f(xk)+7f(b)]l=1,符合梯形求积公式\\ \int_a^bf(x)dx \approx \frac{b-a}{2n}[f(a)+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]\\ l=2,符合Simpson求积公式\\ \int_a^bf(x)dx \approx S_n \\ =\frac{b-a}{6n}[f(a)+4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}2})\\+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(b)]\\ l=4,复合Cotes求积公式\\ \int_a^bf(x)dx\approx C_n\\ =\frac{b-a}{90}[7f(a)+\sum_{k=0}^{n-1}[32f(x_{k+\frac1{4}})+\\ 12f(x_{k+\frac{2}{4}})\\+32f(x_{k+\frac3{4}})]+ 14\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)+7f(b)] l=1,符合梯形求积公式∫ab​f(x)dx≈2nb−a​[f(a)+2k=1∑n−1​f(xk​)+f(b)]l=2,符合Simpson求积公式∫ab​f(x)dx≈Sn​=6nb−a​[f(a)+4k=0∑n−1​f(xk+21​​)+2k=1∑n−1​f(xk​)+f(b)]l=4,复合Cotes求积公式∫ab​f(x)dx≈Cn​=90b−a​[7f(a)+k=0∑n−1​[32f(xk+41​​)+12f(xk+42​​)+32f(xk+43​​)]+14k=1∑n−1​f(xk​)+7f(b)]

3.2 复合求积公式得余项和收敛的阶

三个求积公式的余项

R(T)=−(b−1)312f′′(η)单纯的求积公式=−h12⋅h2⋅f′′(η)复合求积公式的每个小区间当n足够大，复合梯形公式的余项：I−Tn≈−h212[f′(b)−f′(a)]R(S)=−b−a180(b−a2)4f(4)(η)=−h180(h2)4f(4)(ηk)当n足够大，复合Simpson公式的余项为：I−Sn=−h4180⋅24[f′′′(b)−f′′′(a)]R(C)=−2(b−a)945(b−a4)6f(6)(η)=−2h945(h4)6f(6)(ηk)当n足够大，复合Cotes公式的余项为：I−Cn≈2h6945⋅46[f(5)(b)−f(5)(a)]R(T)=-\frac{(b-1)^3}{12}f''(\eta){单纯的求积公式}\\ =-\frac{h}{12} \cdot h^2 \cdot f''(\eta){复合求积公式的每个小区间}\\ 当n足够大，复合梯形公式的余项：\\ I-T_n \approx -\frac{h^2}{12}[f'(b)-f'(a)]\\ R(S)=-\frac{b-a}{180}(\frac{b-a}2)^4f^{(4)}(\eta)\\ =-\frac{h}180(\frac{h}{2})^4f^{(4)}(\eta_k)\\ 当n足够大，复合Simpson公式的余项为：\\ I-S_n=-\frac{h^4}{180 \cdot 2^4}[f'''(b)-f'''(a)]\\ R(C)=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{b-a}{4})^6f^{(6)}(\eta)\\ =-\frac{2h}{945}(\frac{h}{4})^6f^{(6)}(\eta_k) 当n足够大，复合Cotes公式的余项为：\\ I-C_n \approx \frac{2h^6}{945 \cdot 4^6}[f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)] R(T)=−12(b−1)3​f′′(η)单纯的求积公式=−12h​⋅h2⋅f′′(η)复合求积公式的每个小区间当n足够大，复合梯形公式的余项：I−Tn​≈−12h2​[f′(b)−f′(a)]R(S)=−180b−a​(2b−a​)4f(4)(η)=−1h​80(2h​)4f(4)(ηk​)当n足够大，复合Simpson公式的余项为：I−Sn​=−180⋅24h4​[f′′′(b)−f′′′(a)]R(C)=−9452(b−a)​(4b−a​)6f(6)(η)=−9452h​(4h​)6f(6)(ηk​)当n足够大，复合Cotes公式的余项为：I−Cn​≈945⋅462h6​[f(5)(b)−f(5)(a)]

4. 龙贝格求积公式/逐次分半加速法

计算步骤

初值：T1=b−12[f(a)+f(b)]T_1=\frac{b-1}{2}[f(a)+f(b)]T1​=2b−1​[f(a)+f(b)]

令h=b−a2i(i=0,1,2,...)，计算T2n=12Tn+h2∑i=0n−1f(xi+12)h=\frac{b-a}{2^i}(i=0,1,2,...)，计算T_{2n}=\frac{1}{2}T_n+\frac{h}2\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{i+\frac{1}2})h=2ib−a​(i=0,1,2,...)，计算T2n​=21​Tn​+2h​∑i=0n−1​f(xi+21​​)

外推：

Sn=T2n+(T2n−Tn)/3CN=S2n+(S2n−Sn)/15Rn=C2n+(C2n−Cn)/63S_n=T_{2n}+(T_{2n}-T_n)/3\\ C_N=S_{2n}+(S_{2n}-S_n)/15\\ R_n=C_{2n}+(C_2n-C_n)/63 Sn​=T2n​+(T2n​−Tn​)/3CN​=S2n​+(S2n​−Sn​)/15Rn​=C2n​+(C2​n−Cn​)/63

满足精度要求则停，否则第二步。

5. 高斯求积公式

∫abf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)∫ab​f(x)dx≈∑k=0n​Ak​f(xk​)含有2n+22n+22n+2个待定参数xk,Ak(k=0,1,...,n)x_k,A_k(k=0,1,...,n)xk​,Ak​(k=0,1,...,n)，当xkx_kxk​为等距节点时得到的插值求积公式代数精度至少为n次，若选取恰当的节点xkx_kxk​，有可能使求积公式具有2n+12n+12n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯求积公式，xkx_kxk​称为高斯点。

为具有一般性研究带权积分，对应的求积公式为∫abf(x)ρ(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)\int_a^bf(x) \rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)∫ab​f(x)ρ(x)dx≈∑k=0n​Ak​f(xk​)，为了使其具有2n+12n+12n+1次代数精度，只要对f(x)=xm(m=0,1,...,2n+1)f(x)=x^m(m=0,1,...,2n+1)f(x)=xm(m=0,1,...,2n+1)公式都精确成立即可。

例子：构造下列积分的高斯求积公式。

∫01xf(x)dx≈A0f(x0)+A1f(x1)\int_0^1\sqrt x f(x)dx \approx A_0f(x_0)+A_1f(x_1) ∫01​x​f(x)dx≈A0​f(x0​)+A1​f(x1​)

解：令式子对f(x)=1,x,x2,x3f(x)=1,x,x^2,x^3f(x)=1,x,x2,x3准确成立，得到方程组：

{A0+A1=23x0A0+x0A0=25x02A0+X12A1=27x03A0+X13A1=29一式化二式，二式化三式，三式化四式，解得x0=0.821162,x1=0.289949,A0=0.389111,A1=0.277556\begin{cases} A_0+A_1=\frac2{3}\\ x_0A_0+x_0A_0=\frac2{5}\\ x_0^2A_0+X_1^2A_1=\frac{2}7\\ x_0^3A_0+X_1^3A_1=\frac{2}9 \end{cases}\\ 一式化二式，二式化三式，三式化四式，解得\\x_0=0.821162,x_1=0.289949,\\A_0=0.389111,A_1=0.277556 ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​A0​+A1​=32​x0​A0​+x0​A0​=52​x02​A0​+X12​A1​=72​x03​A0​+X13​A1​=92​​一式化二式，二式化三式，三式化四式，解得x0​=0.821162,x1​=0.289949,A0​=0.389111,A1​=0.277556

定理：高斯求积公式的求积系数Ak(k=0,1,...,n)A_k(k=0,1,...,n)Ak​(k=0,1,...,n)全为正。

高斯-勒让德求积公式

∫abf(x)ρ(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)中取权函数ρ(x)=1,区间为[−1，1].由于勒让德多项式是该区间上的正交多项式，因此勒让德多项式Pn+1(x)的零点就是求积公式的高斯点。\int _a^bf(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^nA_kf(x_k)中\\ 取权函数\rho(x)=1,区间为[-1，1].由于勒让德\\多项式是该区间上的正交多项式，因此勒让德\\多项式P_{n+1}(x)的零点就是求积公式的高斯点。 ∫ab​f(x)ρ(x)dx≈k=0∑n​Ak​f(xk​)中取权函数ρ(x)=1,区间为[−1，1].由于勒让德多项式是该区间上的正交多项式，因此勒让德多项式Pn+1​(x)的零点就是求积公式的高斯点。

若取P1(x)=x的零点x0=0P_1(x)=x的零点x_0=0P1​(x)=x的零点x0​=0作为节点构造求积公式令f(x)=1准确成立，得A0=2A_0=2A0​=2，构造出的高斯-勒让德求积公式∫−11f(x)dx≈2f(0)\int_{-1}^1f(x)dx \approx 2f(0)∫−11​f(x)dx≈2f(0)是中矩形公式。

若取P2(x)=12(3x2−1)P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)P2​(x)=21​(3x2−1)的两个零点±13\pm \frac{1}{\sqrt3}±3​1​构造求积公式，令其对f(x)=1,x准确成立，解得A0=A1=1A_0=A_1=1A0​=A1​=1，此时得到两点高斯-勒让德求积公式∫−11f(x)dx≈f(−13)+f(−13)\int_{-1}^1f(x)dx \approx f(-\frac{1}{\sqrt3})+f(-\frac{1}{\sqrt3})∫−11​f(x)dx≈f(−3​1​)+f(−3​1​)，同样可以求三点高斯-勒让德公式。

高斯勒让德求积公式的节点和系数如下图所示:

若a=-1,b=1,权函数ρ(x)=11−x2\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}ρ(x)=1−x2​1​，由此建立的高斯公式为：

∫−11f(x)1−x2dx≈∑k=0nAkf(xk)\int_{-1}^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx\approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) ∫−11​1−x2​f(x)​dx≈k=0∑n​Ak​f(xk​)

称为高斯-切比雪夫求积公式，与高斯-勒让德求积公式计算相仿。

{持续更新}

欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习与数学 [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读，算法和其他互联网技能的学习，概率论、线性代数等高等数学知识的回顾]

如果觉得《数值分析(11)-数值积分》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！