文章目录

一、数值积分的必要性二、数值积分的基本思想2.1 定积分的几何意义2.2 数值积分的理论依据积分中值定理⭐2.3 求积公式的构造⭐左矩形公式中矩形公式 -- 矩形公式右矩形公式梯形公式⭐ -- 两点求积公式Simpson公式⭐ -- 三点求积公式数值求积公式及其余项三、求积公式的代数精度⭐利用代数精度的概念构造求积公式四、插值型求积公式4.1 定义4.2 截断误差与代数精度4.3 求积公式的余项⭐习题

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一、数值积分的必要性

本章主要讨论如右形式的一元函数积分：I(f)I_(f)I(​f) = ∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫ab​f(x)dx

在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分：I(f)I_(f)I(​f) = ∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫ab​f(x)dx = F(b)−F(a)F(b) - F(a)F(b)−F(a)

实际问题 f(x)f(x)f(x)的原函数F(x)F(x)F(x)不能用初等函数表示：

有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示，但表达式相当复杂，计算极其不方便：

f(x)f(x)f(x)没有解析表达式，只有数表形式：

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二、数值积分的基本思想

2.1 定积分的几何意义

2.2 数值积分的理论依据

积分中值定理⭐

2.3 求积公式的构造⭐

I(f)I_(f)I(​f)=∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫ab​f(x)dx = F(b)−F(a)F(b) - F(a)F(b)−F(a)

若简单选取积分区间[a, b]的端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：

左矩形公式

I(f)I_(f)I(​f) ≈\approx≈ f(a)(b−a)f(a)(b-a)f(a)(b−a)

中矩形公式 – 矩形公式

I(f)I_(f)I(​f) ≈\approx≈ f(a+b2)(b−a)f(\frac{a+b}{2})(b-a)f(2a+b​)(b−a)

右矩形公式

I(f)I_(f)I(​f) ≈\approx≈ f(b)(b−a)f(b)(b-a)f(b)(b−a)

梯形公式⭐ – 两点求积公式

Simpson公式⭐ – 三点求积公式

一般地 ，取区间[a,b] 内 n+1 个点{xix_ixi​},(i=0,1,2,...,ni=0,1,2,...,ni=0,1,2,...,n)处的高度{f(xi)f(x_i)f(xi​)},(i=0,1,2,...,ni=0,1,2,...,ni=0,1,2,...,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ)f(\xi)f(ξ)，这类求积方法称为机械求积：

或写成：

数值求积公式及其余项

上式中xkx_kxk​称为求积节点；AkA_kAk​称为求积系数，亦称为伴随节点xkx_kxk​的权。AkA_kAk​仅仅与节点xkx_kxk​的选取有关，不依赖于被积函数f(x)f(x)f(x)的具体形似。

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三、求积公式的代数精度⭐

数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.

概念

注意：次数不超过mmm

梯形公式和矩形公式均只有一次代数精度

问题

构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有：

（1）确定求积系数 AkA_kAk​ 和求积节点 xkx_kxk​；

（2）求积公式精度的衡量标准；

（3）求积公式的误差估计和收敛性分析；

定义

称求积公式I(f)I_(f)I(​f) = ∑12Akf(x)\sum_{1}^{2} A_kf(x)∑12​Ak​f(x)具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:

上述定义中的条件(i),(ii)等价于:

利用代数精度的概念构造求积公式

习题

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四、插值型求积公式

4.1 定义

在积分区间[a, b] 上，取 n+1个节点xix_ixi​,i=0,1,2,…,n作f(x)f(x)f(x)的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式):

则有：f(x)=Ln(x)+Rn(x)f(x) = L_n(x) + R_n(x)f(x)=Ln​(x)+Rn​(x)

其中：Rn(x)R_n(x)Rn​(x)是插值余项

补充

4.2 截断误差与代数精度

截断误差

代数精度

4.3 求积公式的余项⭐

梯形公式余项

辛普森公式余项

习题

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习题

梯形公式的代数精度为什么是1？

例题 确定下面公式中的参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造的求积公式具有的代数精度.

∫−hhf(x)dx\int_{-h}^{h}f(x)dx∫−hh​f(x)dx ≈\approx≈ Af(−h)+Bf(x1)Af(-h) + Bf(x_1)Af(−h)+Bf(x1​)

确定下面公式中的参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造的求积公式具有的代数精度

∫01f(x)dx\int_{0}^{1}f(x)dx∫01​f(x)dx ≈\approx≈ Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)Af(0) + Bf(x_1) + Cf(1)Af(0)+Bf(x1​)+Cf(1)

例题

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