作者：CreateMoMo
编译：ronghuaiyang
导读
今天是第二部分，给大家推导一下CRF的损失函数如何计算，思路很清楚。
回顾
在前一节中，我们知道CRF层可以从训练数据集中学习一些约束，以确保最终预测的实体标签序列是有效的。
约束条件可以是:
句子中第一个单词的标签应该以“B-”或“O”开头，而不是“I-”
“B-label1 I-label2 I-label3 I-…”，在这个模式中，label1、label2、label3…应该是相同的命名实体标签。例如，“B-Person I-Person”是有效的，但是“B-Person I-Organization”是无效的。
“O I-label”无效。一个命名实体的第一个标签应该以“B-”而不是“I-”开头，换句话说，有效的模式应该是“O B-label”
…
阅读本文之后，你将了解为什么CRF层可以学习这些约束。
2. CRF层
在CRF层的损失函数中，我们有两种类型的分数。这两个分数是CRF层的关键概念。
2.1 Emission得分
第一个是emission分数。这些emission分数来自BiLSTM层。例如，如图2.1所示，标记为B-Person的w0的分数为1.5。
为了方便起见，我们将给每个标签一个索引号，如下表所示。
我们用来表示emission分数。i是word的索引，是label的索引。如图2.1所示，=1，即w1作为B-Organization的得分为0.1。
2.2 Transition得分
我们使用来表示transition分数。例如，表示标签的transition，得分为0.9。因此，我们有一个transition得分矩阵，它存储了所有标签之间的所有得分。
为了使transition评分矩阵更健壮，我们将添加另外两个标签，START和END。START是指一个句子的开头，而不是第一个单词。END表示句子的结尾。
下面是一个transition得分矩阵的例子，包括额外添加的START和END标签。
如上表所示，我们可以发现transition矩阵已经学习了一些有用的约束。
句子中第一个单词的标签应该以“B-”或“O”开头，而不是“I-”开头**(从“START”到“I- person或I- organization”的transition分数非常低)**
“B-label1 I-label2 I-label3 I-…”，在这个模式中，label1、label2、label3…应该是相同的命名实体标签。例如，“B-Person I-Person”是有效的，但是“B-Person I-Organization”是无效的。(例如，从“B-Organization”到“I-Person”的分数只有0.0003，比其他分数低很多)
“O I-label”无效。一个被命名实体的第一个标签应该以“B-”而不是“I-”开头，换句话说，有效的模式应该是“O B-label”(同样，的分数非常小)
…
你可能想问一个关于矩阵的问题。在哪里或如何得到transition矩阵？
实际上，该矩阵是BiLSTM-CRF模型的一个参数。在训练模型之前，可以随机初始化矩阵中的所有transition分数。所有的随机分数将在你的训练过程中自动更新。换句话说，CRF层可以自己学习这些约束。我们不需要手动构建矩阵。随着训练迭代次数的增加，分数会逐渐趋于合理。
2.3 CRF损失函数
CRF损失函数由真实路径得分和所有可能路径的总得分组成。在所有可能的路径中，真实路径的得分应该是最高的。
例如，如果我们的数据集中有如下表所示的这些标签：
我们还是有一个5个单词的句子。可能的路径是：
1) START B-Person B-Person B-Person B-Person B-Person END
2) START B-Person I-Person B-Person B-Person B-Person END
…
10) START B-Person I-Person O B-Organization O END
…
N) O O O O O O O
假设每条可能的路径都有一个分数，并且总共有N条可能的路径，所有路径的总分数是。(在第2.4节中，我们将解释如何计算，你也可以把它当作这条路径的分数。)
如果我们说第10条路径是真正的路径，换句话说，第10条路径是我们的训练数据集提供的黄金标准标签。在所有可能的路径中，得分应该是百分比最大的。
在训练过程中，我们的BiLSTM-CRF模型的参数值将会一次又一次的更新，以保持增加真实路径的分数百分比。
现在的问题是：1)如何定义一个路径的分数？2)如何计算所有可能路径的总分？3)当我们计算总分时，我们需要列出所有可能的路径吗？(这个问题的答案是否定的。)
在下面的小节中，我们将看到如何解决这些问题。
2.4 实际路径得分
在2.3节中，我们假设每条可能的路径都有一个得分，并且有N条可能的路径，所有路径的总得分为。
显然，在所有可能的路径中，一定有一条是真实路径。对于这个例子来说，第1.2节中句子的实际路径是**“START B-Person I-Person O B-Organization O END”**。其他的是不正确的，如“START B-Person B-Organization O I-Person I-Person B-Person”。是第i条路径的得分。
在训练过程中，CRF损失函数只需要两个分数：真实路径的分数和所有可能路径的总分数。所有可能路径的分数中，真实路径分数所占的比例会逐渐增加。
计算实际路径分数非常简单。
这里我们主要关注的是的计算。
选取真实路径，“START B-Person I-Person O B-Organization O END”，我们以前用过，例如：
我们有一个5个单词的句子，w1,w2,w3,w4, w4,w5
我们增加了两个额外的单词来表示一个句子的开始和结束，w0,w6
由两部分组成：
Emission得分：
是第index个单词被label标记的分数
这些得分来自之前的BiLSTM输出。
对于，我们可以把它们设为0。
Transition得分：
是从 label1到label2的transition分数
这些分数来自CRF层。换句话说，这些transition分数实际上是CRF层的参数。
综上所述，现在我们可以计算出以及路径得分。
下一步是如何计算所有可能路径的总分？
2.5 所有可能的路径的得分
如何逐步计算一个toy例子一个句子的所有可能的路径的总分。
在上一节中，我们学习了如何计算一个路径(即)的标签路径得分。到目前为止，我们还有一个需要解决的问题，就是如何得到所有路径的总分()。
衡量总分最简单的方法是：列举所有可能的路径并将它们的分数相加。是的，你可以用这种方法计算总分。然而，这是非常低效的。训练的时间将是难以忍受的。
在探索以下内容之前，我建议你先准备一张白纸和一支笔，并按照示例中列出的步骤进行操作。我相信这将有助于你更好地理解算法的细节。此外，你应该知道如何用你喜欢的编程语言实现它。
步骤1: 回想一下CRF损失函数
在p 2.3中，我们将CRF损失函数定义为：
现在我们把loss函数变成log loss函数：
因为当我们训练一个模型时，通常我们的目标是最小化我们的损失函数，我们加上一个负号：
在上一节中，我们已经知道如何计算实际路径得分，现在我们需要找到一个有效的解决方案来计算。
步骤2: 回忆一下Emission和Transition得分
为了简化，我们假设我们从这个句子中训练我们的模型，它的长度只有3：
此外，在我们的数据集中，我们有两个标签：
我们还有Bi-LSTM层输出的Emission分数：
表示被标记为的得分。
此外，Transition分数来自CRF层：
是从标签i到标签j的transition得分。
步骤3: 开始战斗（准备好纸笔）
记住：我们的目标是：
这个过程就是分数的累加。其思想与动态规划相似(如果你不知道什么是动态编程，也可以继续阅读本文)。我将逐步解释这个例子。但我强烈建议你学习动态规划算法。简而言之，计算w0的所有可能路径的总分。然后，我们用总分来计算w0→w1。最后，我们使用最新的总分来计算w0→w1→w2。我们需要的是最后的总分。
在接下来的步骤中，你将看到两个变量：obs和previous。previous存储前面步骤的最终结果。obs表示当前单词的信息。
：
如果我们的句子只有一个单词，我们就没有前面步骤的结果，因此previous是None。另外，我们只能观察到第一个词。和是上述的Emission分数。
你可能会想，的所有可能路径的总分是多少？答案很简单：
把previous展开成：
把obs展开成：
你可能想知道，为什么我们需要把previous和obs扩展成矩阵。因为矩阵可以提高计算的效率。在下面的过程中，你将很快看到这一点。
对previous,obs以及transition得分求和：
然后：
为下一个迭代修改previous的值：
实际上，第二次迭代已经完成。如果有人想知道如何计算所有可能路径的总分(label1→label1, label1→label2, label2→label1, label2→label2)，从w0到w1，可以做如下计算。
我们使用新的previous中的元素：
你发现了吗？这正是我们的目标：
在这个等式中，我们可以看到：
:
如果你读到这里了，你已经快要读完了，实际上，在这个迭代里，我们做的事情是和上个迭代一样的。
把previous扩展成：
把obs扩展成：
把previous,obs和transition分数加起来：
然后：
为下一个迭代计算previous的值：
就像下一个迭代描述的一样，我们使用新的previous中的元素来计算total score：
恭喜！
我们达到了目标，，我们的toy句子有三个单词，label set有两个label，所以一共应该有8种可能的label path。
在你享用一杯咖啡或一块甜蛋糕休息之前，请允许我说几句话。虽然你发现这个过程相当复杂，但是实现这个算法要容易得多。使用计算机的优点之一是可以完成一些重复性的工作。现在你可以自己实现CRF损失函数，并开始训练自己的模型。
—END—
英文原文：https://createmomo.github.io//09/23/CRF_Layer_on_the_Top_of_BiLSTM_2
交流学习，进群备注：昵称-学校（公司）-方向，进入DL&NLP交流群。
方向有很多：机器学习、深度学习，python，情感分析、意见挖掘、句法分析、机器翻译、人机对话、知识图谱、语音识别等。
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