利用泰勒级数计算无理数和以及其他任意无理数的近似值
适用章节：第十二章第四、五节 幂级数，泰勒级数(同济大学数学系《高等数学(第六版)》)
一、问题提出：
和是两个常用的无理数。是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，其定义为圆形之周长与直径之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等量的关键值，的近似值是3.141592654。是高等数学中常用的无理数，的值约为 2.718282。的近似值。
(2)计算的近似值。
(3)怎样利用余项判断近似值的误差。
(4)考虑一下其它无理数的计算，比如等。
二、涉及知识点
幂级数，泰勒级数
三、所使用的软件和关键语句
软件：Mathmatica 5
关键语句：Series[f{,,}] %将函数在处展开到阶幂级数。
四、实现的过程和结果
1．提示：， 。
2．实验过程：
(1)计算的近似值
在Mathmatica 5工作页面输入如下命令：
n = 20 Series[ArcTan[x], {x, 0, n}] %在展开到=20阶
f[x_] = 4 Normal[%] %去掉余项NumberForm[f[1.] , 10] %令得的近似值,输出10位有效数字
wucha = N[1/(2 n + 3), 10] %误差精度，小于该数值，输出10位数字
(结果与上面程序每一行对应，ArcTan[x]表示函数，Series[]级数展开函数)
3.041839619
0.02325581395 %精确到整数位
计算结果不太精确，我们增大的阶数，如下
n=100； Series[ArcTan[x], {x, 0, n}]; % 展开到100阶
f[x_] = 4 Normal[%];
NumberForm[f[1.] , 10]
wucha = N[1/(2 n + 3), 10]
输出结果：
3.12159
0.004926108374 %精确到小数点后一位
n=1000； Series[ArcTan[x], {x, 0, n}]; % 展开到1000阶
f[x_] = 4 Normal[%];
NumberForm[f[1.] , 10]
wucha = N[1/(2 n + 3), 10]
输出结果：
3.139592656
0.0004992511233 %精确到小数点后一位
n=10000； Series[ArcTan[x], {x, 0, n}]; % 展开到10000阶
f[x_] = 4 Normal[%];
NumberForm[f[1.] , 10]
wucha = N[1/(2 n + 3), 10]
输出结果：
3.141392654
0.00004999250112 %精确到小数点后3位
n=100000； Series[ArcTan[x], {x, 0, n}]; % 展开到100000阶
f[x_] = 4 Normal[%];
NumberForm[f[1.] , 10]
wucha = N[1/(2 n + 3), 10]
输出结果：
3.141572654
%精确到小数点后4位
(2)计算的近似值。
在Mathmatica 5工作页面输入如下命令：
n = 5 ; Series[Exp[x], {x, 0, n}] % 展开到5阶
f[x_] = Normal[%]
NumberForm[f[1.], 10]
wucha = N[3/(n + 1)!, 5]
输出结果：
2.716666667
0.0041667 %精确到小数点后1位
n = 20 ; Series[Exp[x], {x, 0, n}]； % 展开到20阶
f[x_] = Normal[%]；
NumberForm[f[1.], 20]
wucha = N[3/(n + 1)!, 10]
输出结果：
2.718281828459046
通过上面两个例子，我们借助计算机通过幂级数展开计算出了无理数和近似值，我们明显
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