1~10中与10互素的数有多少个？
8月6日星期二
也许您看到这个题目，会和我一样认为十分简单，甚而至于您也会这样做：
(1，10)＝1
(2，10)＝2
(3，10)＝1
(4，10)＝2
(5，10)＝5
(6，10)＝2
(7，10)＝1
(8，10)＝2
(9，10)＝1
(10，10)＝10
答：1～10中与10互素的数是｛1，3，7，9｝，一共有4个。
上述计算过程用的是罗列法，写法上(a，b)表示求正整数a、b的最大公因数。事实上，a、b可以是任意整数Z，限定为正整数Z+，只是为了讨论问题的方便，负整数据说只需在正整数结论的基础上添加负号即可。
什么是a、b的最大公因数？
令d＝(a，b)，对于其他任意的a、b的公因数c，都有c｜d(c整除d)。
以前，我总认为：最大公因数是公因数中最大的。现在，才知道这种说法是不准确的，因为有特例的存在。比如：0是0和0的最大公因数。所有自然数都能整除0，我一开始觉得，0和0没有最大公因数，因为找不出最大的自然数，然而，殊不知，“所有自然数都能整除0”，恰好说明“0是0和0的最大公因数”，根据上面的定义。
这是一点小插曲，串台了。
什么是a、b“互素”？
若(a，b)＝1，则a与b互素。
如果将问题改为：1~60中与60互素的数有多少个？
您也许会稍微嫌烦，但依旧可以“罗列”出来。
一共有16个，分别是｛1，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59｝。
再进一步：1~1800中与1800互素的数有多少个？
这时，您也许会畅想用计算机解决，一般地，我也是这么想的。我们大多数都是平凡的人。
然而，早在1946年世界上第一台计算机诞生之前约200年左右，这个问题就被人称“神挡杀神，佛挡杀佛”的数学英雄欧拉完整而漂亮地解决了。也许您会在许多领域都会遇到冠名“欧拉公式”的数学结论，本文谈到的只是其中一个，诚如沧海一粟。
世界上第一台计算机(网络截屏)
欧拉简介(网络截屏)
“欧拉大神”大致是这样做的：
(一)对于任意的m∈Z+，且m＞1，都有唯一的标准分解式：
式1
其中：pi(i＝1、2……s)是素数(或质数)，且p1
例：
这个东西其实并不高深，类似于小学的“质因数分解”，高深的在下面。
(二)对于任意的m∈Z+，且m＞1，在1～m中与m互素的数的个数，记为欧拉函数φ(m)，若m具有“式1”中的标准分解式，则有：
欧拉函数
例：
最后，请您不要问我为什么，我水平有限，就让我们静悄悄地做一些验证吧。
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