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AttentionSeq2Seq TransformerWord2Vec构建统计共现矩阵X构建词向量和共现矩阵之间的关系 BERTAttention
Seq2Seq
Transformer
Word2Vec
Word vectors
我们将为每个单词构建一个稠密的向量，使得它能够与相似文本里的词向量相近，word meaning 作为一种神经词向量，在我们对向量空间进行可视化：
注：word vector 有时也叫做 word embedding 或者 word representations，他们都是一种表示结构。
Word2vec：Overview
Word2vec(Mikolov et al. ) 是一种学习词向量的框架，包含大量的文本语料，固定词表中的每一个单词由一个词向量表示，文本中的每个单词位置 t，有一个中心词c，和它的上下文 o（除了 c 的外部单词）。
通过 c 和 o 的词向量相似性来计算 P（o/c），不断的调整词向量，最大化概率，固定窗口，滑动窗口并计算：
Word2vec的目标函数：
对于每个位置 t = 1,…,T，固定窗口大小m，给定中心词wj:
l i k e l i h o o d = L ( θ ) = ∏ t = 1 T ∏ − m ≤ j ≤ m j ≠ 0 p ( w t + j ∣ w t ; θ ) likelihood=L(\theta)=\prod_{t=1}^{T}\prod_{-m \le j \le m\\ \ \ \ \ j\ne0}^{}p(w_{t+j}|w_t;\theta) likelihood=L(θ)=t=1∏T−m≤j≤mj=0∏p(wt+j∣wt;θ)
注： θ \theta θ 是需要优化的参数
（ J （ θ ） = − 1 T l o g L ( θ ) = − 1 T ∑ t = 1 T ∑ − m ≤ j ≤ m j ≠ 0 l o g P ( w t + j ∣ w t ; θ ) J（\theta）=-\frac 1TlogL(\theta)=-\frac1T\sum_{t=1}^T\sum_{-m\le j\le m \\ \ \ \ \ j\ne 0}logP(w_{t+j}|w_t;\theta) J（θ）=−T1logL(θ)=−T1t=1∑T−m≤j≤mj=0∑logP(wt+j∣wt;θ)
）
注：
J ( θ ) J(\theta) J(θ)为损失函数（这里是平均负对数似然）；
负号将极大化损失函数转化为极小化损失函数；
log函数方便将乘法转化为求和（优化处理）
如何计算？
问：如何计算 P ( w t + j ∣ w t ; θ ) P(w_{t+j}|w_t;\theta) P(wt+j∣wt;θ)?
答：对于每个单词 w 我们使用两个向量 v w v_w vw 和 u w u_w uw
v w v_w vw ：当 w 是中心词时
u w u_w uw ：当 w 是上下文单词时
对于中心词 c 和上下文单词 o，有：
P ( o ∣ c ) = e x p ( u o T v c ) ∑ w ϵ V e x p ( u w T v c ) P(o|c)=\frac {exp(u_o^Tv_c)}{\sum_{w\epsilon V}exp(u_w^Tv_c)} P(o∣c)=∑wϵVexp(uwTvc)exp(uoTvc)
在概率函数中：
P ( o ∣ c ) = e x p ( u o T v c ) ∑ w ϵ V e x p ( u w T v c ) P(o|c)=\frac {exp(u_o^Tv_c)}{\sum_{w\epsilon V}exp(u_w^Tv_c)} P(o∣c)=∑wϵVexp(uwTvc)exp(uoTvc)
分子取幂函数使得始终可以为正
向量 u o u_o uo 和向量 v c v_c vc 点乘，点乘结果越大，向量之间越相似
u T v = u ⋅ v = ∑ i = 1 n u i v i u^Tv=u·v=\sum_{i=1}^nu_iv_i uTv=u⋅v=∑i=1nuivi
对整个词表标准化，给出概率分布
softmax函数进行归一化（深度学习中常用）： R n → R n \Bbb{R^n}\to \Bbb{R^n} Rn→Rn
（公式 x s o f t m a x （ x ） = e x p ( x i ) ∑ j = 1 n e x p ( x j ) = p i xsoftmax（x）= \frac {exp(x_i)}{\sum_{j=1}^nexp(x_j)}=p_i xsoftmax（x）=∑j=1nexp(xj)exp(xi)=pi
）
注：用于将任意值 x i x_i xi 映射到概率分布 p i p_i pi
Word2vec objective function gradients
Training a model by optimizing parameters
（通过优化参数的方式训练模型）- 最小化损失
To train the model: Compute all vector gradients
整个模型里只有一个参数 θ \theta θ ,所以我们只用优化这一个参数就行。
例如：模型在一个 d 维，词典大小为 V :
θ = [ v a a r d v a r k v a ⋮ v z e b r a u a a r d v a r k u a ⋮ u z e b r a ] ϵ R 2 d V \theta=\begin{bmatrix}v_{aardvark}\\v_a\\\vdots\\v_{zebra}\\u_{aardvark}\\u_a\\\vdots\\u_{zebra} \end{bmatrix}\epsilon\ \Bbb R^{2dV} θ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡vaardvarkva⋮vzebrauaardvarkua⋮uzebra⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤ϵR2dV
2：每个单词有两个向量
通过梯度（导数）下降的方式优化参数
梯度下降会用到链式法则
迭代计算每个中心词向量和上下文词向量随着滑动窗口移动的梯度
依次迭代更新窗口中所有的参数
Example：
5. Optimization basics
Optimization：Gradient Descent（梯度下降）
我们的损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 需要最小化
使用的方法为：梯度下降
对于当前 θ \theta θ ,计算 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 的梯度
然后小步重复朝着负梯度方向更新方程里的参数 α = ( s t e p s i z e ) o r ( l e a r n i n g r a t e ) \alpha=(step\ size)\ or\ (learning\ rate) α=(stepsize)or(learningrate)
θ n e w = θ o l d − α ∇ θ J ( θ ) \theta^{new}=\theta^{old}-\alpha \nabla_\theta J(\theta) θnew=θold−α∇θJ(θ)
更新唯一的参数 θ \theta θ:
θ j n e w = θ j o l d − α α α θ j o l d J ( θ ) \theta_j^{new}=\theta_j^{old}-\alpha \frac \alpha{\alpha\ \theta_j^{old}}J(\theta) θjnew=θjold−ααθjoldαJ(θ)
while True:theta_grad = evaluate_gradient(J,corpus,theta)theta = theta - alpha * theta_grad
SGD:Stochastic Gradient Descent
由于 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 是在语料文本中所有窗口的方程
当语料很大的时候，计算梯度会消耗巨大
解决办法：SGD
不断sample窗口，不断更新
while True:window = sample_window(corpus)theta_grad = evaluate_gradient(J,window,theta)theta = tehta - alpha * theta_grad
# GloVe GloVe的全称是GloVe: [bal ](https://nlp.stanford.edu/projects/glove/)[Ve](https://nlp.stanford.edu/projects/glove/)[ctors for Word Representation](https://nlp.stanford.edu/projects/glove/)
是这门课的老师Christopher D. Manning的研究成果
GloVe目标是综合基于统计和基于预测的两种方法的优点。
模型目标：词进行向量化表示，使得向量之间尽可能多地蕴含语义和语法的信息
流程：输入语料库–> 统计共现矩阵–> 训练词向量–>输出词向量
构建统计共现矩阵X
Xij代表单词
i表示上下文单词
j表示在特定大小的上下文窗口（context window）内共同出现的次数。这个次数的最小单位是1，但是GloVe不这么认为：它根据两个单词在上下文窗口的距离dd.
提出了一个衰减函数（decreasing weighting）：用于计算权重，也就是说距离越远的两个单词所占总计数（total count）的权重越小。
构建词向量和共现矩阵之间的关系
公式
w i T w ~ j + b i + b ~ j = log ( X i j ) w_{i}^{T} \tilde{w}_{j}+b_{i}+\tilde{b}_{j}=\log \left(X_{i j}\right) wiTw~j+bi+b~j=log(Xij)
其中， w i T w_{i}^{T} wiT 和 w ~ j \tilde{w}_{j} w~j是我们最终要求解的词向量； b i b_{i} bi和 b ~ j \tilde{b}_{j} b~j分别是两个词向量的bias term
那它到底是怎么来的，为什么要使用这个公式？为什么要构造两个词向量 w i T w_{i}^{T} wiT 和 w ~ j \tilde{w}_{j} w~j？
有了上述公式之后，我们可以构建Loss function:
J = ∑ i , j = 1 V f ( X i j ) ( w i T w ~ j + b i + b ~ j − log ( X i j ) ) 2 J=\sum_{i, j=1}^{V} f\left(X_{i j}\right)\left(w_{i}^{T} \tilde{w}_{j}+b_{i}+\tilde{b}_{j}-\log \left(X_{i j}\right)\right)^{2} J=i,j=1∑Vf(Xij)(wiTw~j+bi+b~j−log(Xij))2
loss function的基本形式就是最简单的mean square loss，只不过在此基础上加了一个权重函数$ f\left(X_{i j}\right) $，那么这个函数起了什么作用，为什么要添加这个函数呢？我们知道在一个语料库中，肯定存在很多单词他们在一起出现的次数是很多的（frequent co-occurrences），那么我们希望：
这些单词的权重要大于那些很少在一起出现的单词，因此这个函数要是非递减函数（non-decreasing）；但这个权重也不能过大，当到达一定程度之后当不再增加；如果两个单词没有在一起出现，也就是 X i j X_{i j} Xij,那么他们应该不参与到loss function的计算当中去，也就是f(x)要满足f(x)=0
为此，作者提出了以下权重函数：
f ( x ) = { ( x / x max ) α if x < x max 1 otherwise f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \left(x / x_{\max }\right)^{\alpha} & \text { if } x<x_{\text {max }} \\ 1 & \text { otherwise } \end{array}\right. f(x)={(x/xmax)α1ifx<xmaxotherwise
实验中作者设定 x max = 100 x_{\max }=100 xmax=100，并且发现 α = 3 / 4 \alpha=3 / 4 α=3/4时效果比较好。
BERT
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