UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度

对于概率空间(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)，Ω\OmegaΩ是非空集合，表示状态空间；F\mathcal{F}F是事件空间，也是状态空间的一个σ\sigmaσ-代数；PPP是概率测度。我们已经严格定义了前两个要素，这一讲我们介绍概率测度。

测度与概率

测度PPP是一个自变量为集合的函数，它把集合映射成一个数值。对于可测空间(Ω,F)(\Omega,\mathcal{F})(Ω,F)，如果P:F→R+P:\mathcal{F} \to \mathbb{R}^+P:F→R+是一个测度，则

P(ϕ)=0P(\phi)=0P(ϕ)=0∀A∈F,P(A)≥0\forall A \in \mathcal{F},P(A) \ge 0∀A∈F,P(A)≥0∀Ai∈F,i=1,⋯,n\forall A_i \in \mathcal{F},i=1,\cdots,n∀Ai​∈F,i=1,⋯,n, P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(⨆i=1n​Ai​)=∑i=1n​P(Ai​)

如果∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An​∈F,n=1,2,⋯，P(⨆n=1∞An)=∑n=1∞P(An)P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} A_n)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)P(⨆n=1∞​An​)=∑n=1∞​P(An​)，称PPP具有可列可加性，或称PPP为σ\sigmaσ-可加测度。

如果P(Ω)<∞P(\Omega)<\inftyP(Ω)<∞，称PPP为有限测度；如果∃An,n=1,2,⋯\exists A_n,n=1,2,\cdots∃An​,n=1,2,⋯，Ω=∑n=1∞An\Omega=\sum_{n=1}^{\infty} A_nΩ=∑n=1∞​An​，且P(An)<∞,∀nP(A_n)<\infty,\forall nP(An​)<∞,∀n，则称PPP为σ\sigmaσ-有限测度。显然有限测度一定是σ\sigmaσ-有限测度，反之不成立。

如果P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1，且PPP是σ\sigmaσ-可加测度，称PPP为概率测度，或简称概率。

概率的连续性

假设PPP是F\mathcal{F}F上的σ\sigmaσ-可加函数，P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1，下面四个条件等价：

PPP是概率；PPP上连续；PPP下连续；PPP在"0"上连续；

我们先介绍一下集函数的连续性，然后再证明它们的等价性。类比实变函数的连续性，f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处连续，等价于∀xn→x0\forall x_n \to x_0∀xn​→x0​，lim⁡nf(xn)→f(x0)=f(lim⁡nxn)\lim_n f(x_n)\to f(x_0)=f(\lim_n x_n)limn​f(xn​)→f(x0​)=f(limn​xn​)。上连续意味着∀xn→x0\forall x_n \to x_0∀xn​→x0​应该改为∀xn↑x0\forall x_n \uparrow x_0∀xn​↑x0​；下连续就改为∀xn↓x0\forall x_n \downarrow x_0∀xn​↓x0​，也就是说半连续性会限制逼近的方向。

上连续∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An​∈F,n=1,2,⋯，An⊂An+1A_n \subset A_{n+1}An​⊂An+1​，如果P(⋃n=1∞An)=lim⁡nP(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)P(⋃n=1∞​An​)=limn​P(An​)，称PPP是上连续的。这个定义中需要注意的是，因为An⊂An+1A_n \subset A_{n+1}An​⊂An+1​，所以⋃n=1∞An=lim⁡nAn\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\lim_n A_n⋃n=1∞​An​=limn​An​。

下连续∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An​∈F,n=1,2,⋯，An⊃An+1A_n \supset A_{n+1}An​⊃An+1​，如果P(⋂n=1∞An)=lim⁡nP(An)P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)P(⋂n=1∞​An​)=limn​P(An​)，称PPP是下连续的。

在0处连续也就是在ϕ\phiϕ处连续，∀An∈F,n=1,2,⋯\forall A_n \in \mathcal{F},n=1,2,\cdots∀An​∈F,n=1,2,⋯，An⊃An+1A_n \supset A_{n+1}An​⊃An+1​，⋂n=1∞An=ϕ\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\phi⋂n=1∞​An​=ϕ，如果P(⋂n=1∞An)=lim⁡nP(An)P(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n)=\lim_n P(A_n)P(⋂n=1∞​An​)=limn​P(An​)，称PPP在ϕ\phiϕ处连续。

证明

1→21 \to 21→2，记A0=ϕA_0=\phiA0​=ϕ，直接计算

P(⋃n=1∞An)=P(⨆n=1∞(An∖An−1))=∑n=1∞P(An∖An−1)=∑n=1∞[P(An)−P(An−1)]=P(A∞)−P(A0)=lim⁡n→∞P(An)P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=P(\bigsqcup_{n=1}^{\infty} (A_n\setminus A_{n-1}) ) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n\setminus A_{n-1})\\ =\sum_{n=1}^{\infty} [P(A_n)-P(A_{n-1})] =P( A_{\infty})-P(A_0) = \lim_{n\to \infty} P(A_n)P(n=1⋃∞​An​)=P(n=1⨆∞​(An​∖An−1​))=n=1∑∞​P(An​∖An−1​)=n=1∑∞​[P(An​)−P(An−1​)]=P(A∞​)−P(A0​)=n→∞lim​P(An​)

2→32 \to 32→3，因为An↓A_n \downarrowAn​↓，所以A1∖An↑A_1\setminus A_n \uparrowA1​∖An​↑，同时

⋃n=1∞A1∖An=⋃n=1∞A1∩AnC=A1∩⋃n=1∞AnC=A1∩(⋂n=1∞An)C=A1∖⋂n=1∞An\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\setminus A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_1\cap A_n^C = A_1 \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^C = A_1 \cap \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right)^C = A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_nn=1⋃∞​A1​∖An​=n=1⋃∞​A1​∩AnC​=A1​∩n=1⋃∞​AnC​=A1​∩(n=1⋂∞​An​)C=A1​∖n=1⋂∞​An​

根据2，

lim⁡n→∞P(A1∖An)=P(⋃n=1∞(A1∖An))\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n))n→∞lim​P(A1​∖An​)=P(n=1⋃∞​(A1​∖An​))

基于An=A1∖(A1∖An)A_n=A_1 \setminus (A_1\setminus A_n)An​=A1​∖(A1​∖An​)，

P(An)=P(A1)−P(A1∖An)lim⁡n→∞P(An)=P(A1)−lim⁡n→∞P(A1∖An)=P(A1)−P(⋃n=1∞(A1∖An))=P(A1)−P(A1∖⋂n=1∞An)=P(⋂n=1∞An)P(A_n)=P(A_1)-P(A_1 \setminus A_n) \\ \lim_{n \to \infty}P(A_n)=P(A_1)-\lim_{n\to \infty} P(A_1 \setminus A_n) = P(A_1) - P(\bigcup_{n=1}^{\infty} (A_1\setminus A_n)) \\ = P(A_1) - P(A_1 \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n ) = P(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n)P(An​)=P(A1​)−P(A1​∖An​)n→∞lim​P(An​)=P(A1​)−n→∞lim​P(A1​∖An​)=P(A1​)−P(n=1⋃∞​(A1​∖An​))=P(A1​)−P(A1​∖n=1⋂∞​An​)=P(n=1⋂∞​An​)

3→43 \to 43→4，非常显然。

4→14 \to 14→1，只需验证σ\sigmaσ可加性即可。考虑

⨆i=1∞Ai=⨆i=1nAi+⨆i=n+1∞Ai\bigsqcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigsqcup_{i=1}^{n} A_i+ \bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_ii=1⨆∞​Ai​=i=1⨆n​Ai​+i=n+1⨆∞​Ai​

注意到⨆i=n+1∞Ai↓ϕ\bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i \downarrow \phi⨆i=n+1∞​Ai​↓ϕ，根据4，lim⁡n→∞P(⨆i=n+1∞Ai)=0\lim_{n \to \infty}P(\bigsqcup_{i=n+1}^{\infty} A_i)=0limn→∞​P(⨆i=n+1∞​Ai​)=0。根据有限可加性，

P(⨆i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^{n} A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(i=1⨆n​Ai​)=i=1∑n​P(Ai​)

因此

P(⨆i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P(\bigsqcup_{i=1}^{\infty} A_i )=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)P(i=1⨆∞​Ai​)=i=1∑∞​P(Ai​)

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