UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间2 可列状态空间
有限状态空间与事件系无限可列状态空间与事件σ\sigmaσ-代数对于概率空间(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)，Ω\OmegaΩ是非空集合，表示状态空间；F\mathcal{F}F是事件空间，也是状态空间的一个σ\sigmaσ-代数；PPP是概率测度。上一讲结尾提到了F\mathcal{F}F应该是可以被状态空间的某些分割覆盖的集合组成的σ\sigmaσ-代数，但这个结论只是对上一讲例子的一个很粗糙的总结，这一讲将更严谨地讨论这个观点。
有限状态空间与事件系
假设Ω={w1,⋯,wn}\Omega=\{w_1,\cdots,w_n\}Ω={w1,⋯,wn}，也就是状态空间有限，定义事件代数（事件系）A\mathcal{A}A满足：
Ω∈A\Omega \in \mathcal{A}Ω∈A∀A,B∈A,A∩B,A∪B,A∖B∈A\forall A,B \in \mathcal{A},A \cap B,A\cup B, A\setminus B \in \mathcal{A}∀A,B∈A,A∩B,A∪B,A∖B∈A
需要注意的是尽管对于有限状态空间的情形，事件代数有很多种构造的方法，比如
A={ϕ,Ω}（平凡代数）A={ϕ,A,AC,Ω},A⊂Ω（事件A生成的代数）A={A:A⊂Ω}（状态空间的幂集）\mathcal{A} = \{\phi,\Omega\} （平凡代数） \\ \mathcal{A} = \{\phi,A,A^C,\Omega\} ,A \subset \Omega （事件A生成的代数）\\ \mathcal{A} = \{A:A \subset \Omega\} （状态空间的幂集）A={ϕ,Ω}（平凡代数）A={ϕ,A,AC,Ω},A⊂Ω（事件A生成的代数）A={A:A⊂Ω}（状态空间的幂集）
但是对于实际应用而言，我们希望构造的事件代数中的事件都可以计算出概率、并且事件代数包含的事件越多越好，这样才能保证概率模型能够适应更多的应用场景。
为了表示事件概率的可计算性与事件代数包含的事件数目，我们可以引入一个工具：概率空间的分割以及由分割生成的σ\sigmaσ代数。称集族
D={D1,D2,⋯}\mathcal{D} = \{D_1,D_2,\cdots\}D={D1,D2,⋯}
是状态空间的分割，如果
Ω=⨆i=1∞Di\Omega = \bigsqcup_{i=1}^{\infty} D_iΩ=i=1⨆∞Di
定义σ(D)\sigma(\mathcal{D})σ(D)是分割D\mathcal{D}D生成的代数，如果σ(D)\sigma(\mathcal{D})σ(D)仅由D\mathcal{D}D以及D\mathcal{D}D中任意两个集合的并、交、差构成，σ(D)\sigma(\mathcal{D})σ(D)也叫包含D\mathcal{D}D的最小代数。
现在考虑如何应用这两个概念。如果定义分割为D={ϕ,Ω}\mathcal{D}=\{\phi,\Omega\}D={ϕ,Ω}，基于这个分割生成的代数就是平凡代数；如果定义分割为D={A,AC}\mathcal{D}=\{A,A^C\}D={A,AC}，基于这个分割生成的代数就是事件AAA生成的代数；如果定义分割为D={{w1},⋯,{wn}}\mathcal{D}=\{\{w_1\},\cdots,\{w_n\}\}D={{w1},⋯,{wn}}，基于这个分割生成的代数就是Ω\OmegaΩ的幂集。
根据这个观察，我们可以发现对事件代数的比较可以简化为对分割的比较。假设有两个分割D1\mathcal{D}_1D1与D2\mathcal{D}_2D2，如果σ(D1)⊂σ(D2)\sigma(\mathcal{D}_1) \subset \sigma(\mathcal{D_2})σ(D1)⊂σ(D2)，则称D2\mathcal{D}_2D2更细，记作D1<<D2\mathcal{D}_1 << \mathcal{D}_2D1<<D2。对于有限状态空间，因为D={{w1},⋯,{wn}}\mathcal{D}=\{\{w_1\},\cdots,\{w_n\}\}D={{w1},⋯,{wn}}中每个集合都是可计算概率的，并且D={{w1},⋯,{wn}}\mathcal{D}=\{\{w_1\},\cdots,\{w_n\}\}D={{w1},⋯,{wn}}是最细的分割，因此对于有限状态空间，通常我们会选择F=P(Ω)\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)F=P(Ω)作为事件空间，P(Ω)\mathcal{P}(\Omega)P(Ω)表示Ω\OmegaΩ的幂集。
无限可列状态空间与事件σ\sigmaσ-代数
我们可以直接对有限状态空间的结论进行推广，假设∣Ω∣=∞|\Omega|=\infty∣Ω∣=∞，我们同样可以构造一个分割
D={D1,D2,⋯}\mathcal{D} = \{D_1,D_2,\cdots\}D={D1,D2,⋯}
满足
Ω=⨆i=1∞Di\Omega = \bigsqcup_{i=1}^{\infty} D_iΩ=i=1⨆∞Di
作为对上一讲例子的抽象，我们假设Ω\OmegaΩ是可列的，那么对于DiD_iDi具有可计算概率的要求其实就是∃ϵ0>0,P(Di)>ϵ0\exists \epsilon_0>0,P(D_i)>\epsilon_0∃ϵ0>0,P(Di)>ϵ0。记σ(D)\sigma(\mathcal{D})σ(D)是分割D\mathcal{D}D生成的σ\sigmaσ-代数（因为概率测度的σ\sigmaσ-可加性保证P(Ω)=1P(\Omega)=1P(Ω)=1成立，所以状态空间是无限集时事件空间必须是σ\sigmaσ-代数），则概率空间就是(Ω,σ(D),P)(\Omega,\sigma(\mathcal{D}),P)(Ω,σ(D),P)。需要注意的是可计算的分割并不唯一，比如在上一讲的例子中，
Ak={w:firstHoccursafterktoss}A_k = \{w: first\ H\ occurs\ after\ k\ toss\}Ak={w:firstHoccursafterktoss}
是一种分割，我们也可以用
Ar,k={w:therthHoccursafterktoss}A_{r,k} = \{w: the\ rth\ H\ occurs\ after\ k\ toss\}Ar,k={w:therthHoccursafterktoss}
作为一个分割，显然
Ω=⨆k=1∞Ak=⨆k=1∞⨆r=1∞Ar,k\Omega= \bigsqcup_{k=1}^{\infty} A_k = \bigsqcup_{k=1}^{\infty} \bigsqcup_{r=1}^{\infty} A_{r,k}Ω=k=1⨆∞Ak=k=1⨆∞r=1⨆∞Ar,k
也就是说分割{Ar,k}\{A_{r,k}\}{Ar,k}更细。对应到实践中，概率模型(Ω,σ({Ak}),P)(\Omega,\sigma(\{A_k\}),P)(Ω,σ({Ak}),P)对应的是几何分布Geo(1/2)Geo(1/2)Geo(1/2)；概率模型(Ω,σ({Ar,k}),P)(\Omega,\sigma(\{A_{r,k}\}),P)(Ω,σ({Ar,k}),P)对应的是负二项分布NegBin(r,1/2)NegBin(r,1/2)NegBin(r,1/2)，当r=1r=1r=1是NegBin(r,1/2)NegBin(r,1/2)NegBin(r,1/2)就是Geo(1/2)Geo(1/2)Geo(1/2)，因此基于更细的分割生成的事件空间总是会得到更具有一般性的概率模型。
如果觉得《UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间2 可列状态空间》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！
