问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点,是否存在一点E使△CDE的周长取得最小值?若存在,求点E的坐标并证明;若不存在,请说明理由.
(2)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
答案:
解:(1)如图,作点D关于x轴的对称点D,连接CD与x轴交于点E,连接DE.
若在边OA上任取点E(与点E不重合),连接CE、DE、DE.
由DE+CE=DE+CE>CD=DE+CE=DE+CE,
可知△CDE的周长最小.
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,DO=DO=2,DB=6.
∵OE∥BC,
∴Rt△DOE∽Rt△DBC,
有.
∴
∴点E的坐标为(1,0)
(2)如图,
作点D关于x轴的对称点D,在CB边上截取CG=2,连接DG与x轴交于点E,在EA上截取EF=2
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF.
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小
∵OE∥BC,
∴Rt△DOE∽Rt△DBG,有.
∴
∴.
∴点E的坐标为(,0),点F的坐标为(,0)
解析分析:(1)由于C、D是定点,则CD是定值,如果△CDE的周长最小,即DE+CE有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D,当点E在线段CD′上时,△CDE的周长最小;
(2)由于DC、EF的长为定值,如果四边形CDEF的周长最小,即DE+FC有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D,在CB边上截取CG=2,当点E在线段D′G上时,四边形CDEF的周长最小.
点评:此题主要考查轴对称--最短路线问题,解决此类问题,一般都是运用轴对称的性质,将求折线问题转化为求线段问题,其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.
如图 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴的正半轴上 OA=3 OB=4 D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点
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