问题补充:
如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P是BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥CD于F,BG⊥CD于G,可得结论:PE+PF=BG;当点P在BC的延长线上(如图2)时,其余条件不变,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,PE、PF、BG之间又有怎样的关系?请写出你的猜想,并加以证明.
答案:
解:不成立,关系为:PE=PF+BG.
过点B作BH∥CD,交PF的延长线于点H,
∵PF⊥CD,BG⊥CD,∠PBH=∠DCB,
∴BG∥FH,PH⊥BH,
∴四边形BGFH是平行四边形,∠H=90°,
∴FH=BG,
∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴∠ABC=∠DCB,
∴∠ABC=∠PBH,
∵PE⊥AB,
∴∠PEB=∠H=90°,
在△PBE和△PBH中,
,
∴△PBE≌△PBH(AAS),
∴PH=PE,
∴PE=PF+FH=PF+BG.
解析分析:首先过点B作BH∥CD,交PF的延长线于点H,易证得四边形BGFH是平行四边形,即可得BG=FH,又可证得△PBE≌△PBH,即可得PH=PE,继而证得PE=PF+BG.
点评:此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
如图1 等腰梯形ABCD中 AD∥BC AB=DC P是BC上任意一点 PE⊥AB于E PF⊥CD于F BG⊥CD于G 可得结论:PE+PF=BG;当点P在BC的延长
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