问题补充:
(1)已知,如图甲,MN是平行四边形ABCD外的一条直线,AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN,A′、B′、C′、D′为垂足.求证:AA′+CC′=BB\+DD′.
(2)若直线MN向上移动,使点C在直线一侧,A、B、D三点在直线另一侧(如图乙),则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系?先对结论进行猜想,然后加以证明.
答案:
(1)证明:连接AC、BD交于O,过O作OO′⊥MN于O′,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BB′、DD′、OO′都垂直MN,
∴BB′∥OO′∥DD′,
∵OB=OD,OA=OC,
∴B′O′=O′D′,A′O′=C′O′,(一组平行线在一条直线上截的线段相等,那么在其它直线上截的线段也相等)
∴OO′=(BB′+DD′),OO′=(AA′+CC′),
∴AA′+CC′=BB′+DD′.
(2)垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的关系是AA′=BB′+CC′+DD′,
证明:连接AC、BD交于O,过O作OO′⊥MN于O′,延长C′O交AA′于E,
由(1)知:AA′∥OO′∥CC′,
∴∠OAE=∠OCC′,∠OEA=∠OC′C,
∵OA=OC,
∴△AEO≌△OC′C,
∴EO=C′O,
∵OO′∥AA′,
∴A′O′=O′C′,
即OO′是△C′A′E的中位线,
∴OO′=A′E=(AA′-CC′),
由(1)知:OO′=(BB′+DD′),
∴AA′-CC′=BB′+DD′,
即AA′=BB′+CC′+DD′.
解析分析:(1)连接AC、BD交于O,过O作OO′⊥MN于O′,根据平行四边形的性质得出OA=OC,OB=OD,得出BB′∥OO′∥DD′,根据三角形的中位线得出OO′=(BB′+DD′),OO′=(AA′+CC′)即可;(2)连接AC、BD交于O,过O作OO′⊥MN于O′,延长C′O交AA′于E,根据平行线性质求出∠OAE=∠OCC′,∠OEA=∠OC′C,证△AEO≌△OC′C,推出EO=C′O,得出A′O′=O′C′,根据中位线的性质求出OO′=(AA′-CC′),OO′=(BB′+DD′),推出AA′-CC′=BB′+DD′即可.
点评:本题考查了平行四边形性质,三角形的中位线,梯形的中位线,全等三角形的性质和判定,平行线分线段成比例定理的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,解此题的关键是正确作辅助线.
(1)已知 如图甲 MN是平行四边形ABCD外的一条直线 AA′ BB′ CC′ DD′都垂直于MN A′ B′ C′ D′为垂足.求证:AA′+CC′=BB\+D
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