问题补充:
(1)如图1,正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接AE,过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F,猜想AE与AF的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,在(1)的条件下,连接AC,过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M,观察并猜想CE与MF的数量关系(不必说明理由);
(3)解决问题:
①王师傅有一块如图所示的板材余料,其中∠A=∠C=90°,AB=AD.王师傅想切一刀后把它拼成正方形.请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图;
②王师傅现有两块同样大小的该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大的正方形呢?若能,请你画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
答案:
解:(1)∵∠BAF+∠BAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠BAF=∠DAE,
∵AB=AD,∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF.
(2)CE=MF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AMF=∠ACB=45°,AM=AC,
∵△ABF≌△ADE,
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE,即∠AFM=∠AEC,
∴∠MAF=∠EAC,
∴△AMF≌△ACE,
∴CE=MF.
(3)①如图所示,把△ABE切下,拼到△ADF的位置,
∵AB=AD,∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF,
∵AE=AD=CE,∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是正方形.
②如图4所示,
解析分析:(1)根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE,再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE,由全等三角形的性质即可解答;
(2)先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC,∠AMF=∠ACB=45°,再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE,再由SAS定理求出△AMF≌△ACE,即CE=MF;
(3)①画出示意图,只要求出△ABE≌△ADF,再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可;
②根据题意画出示意图即可,此时正方形的面积等于两块涂料面积的和.
点评:此题题量较大,涉及到正方形的性质及相似三角形的判定定理.解题的关键是利用全等三角形进行割补.
(1)如图1 正方形ABCD中 E为边CD上一点 连接AE 过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F 猜想AE与AF的数量关系 并说明理由;(2)如图2 在(1)的条件下
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