问题补充:
如图,地上有一圆柱,在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁,它想沿圆柱表面爬行.吃到上底面上与A点相对的B点处的食物(π的近似值取3,以下同).
(1)当圆柱的高h=12厘米,底面半径r=3厘米时,蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少;
(2)当圆柱的高h=3厘米,底面半径r=3厘米时,蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程是多少;
(3)探究:当圆柱的高为h,圆柱底面半径为r时,蚂蚁怎样爬行的路程最短,路程最短为多少?
答案:
解:将圆柱体展开,连接AB,
∵底面半径r=3厘米,
∴CB=×2π×3=3π≈9厘米,
∵圆柱的高h=12厘米,即AC=12厘米,
∴AB===15厘米.
答:蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是15厘米.
(2)当蚂蚁沿侧面爬行同(1)的方法:
∵AC=3,=3π≈9,
∴AB==3.
当蚂蚁沿AC到上底面,再沿直径CB爬行,有AC+BC=3+6=9.
因为>9,
所以最短路程是经AC到上底面,再沿直径CB爬行的总路程为9.
(3)在侧面,沿AB爬行时,S1=,沿AC再经过直径CB时,
则S2=h+2r.
当S1=S2时,.
整理,得4h=(π2-4)r,由于π取3,
所以4h≈5r.
当时,两种爬行路程一样.
当S1>S2时,,整理,得4h<(π2-4)r
当π取3时,有h<,所以当h<时,沿AC再经过直径CB到点B时所走路程最短.
同理,当h>时,沿侧面AB走路程最短.
当h<r时,沿AC到CB走路程最短为h+2r.
当h<r时,沿侧面AB走或沿AC到CB走路程一样长为或h+2r.
当h<r时,沿侧面AB走路程最短为.
当h<r时,沿AC到CB走路程最短为h+2r.
解析分析:(1)首先画出圆柱的平面展开图,求出CB长,再利用勾股定理可求出AB的长,即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程.
(2)先根据(1)的方法求出AB的长,再根据蚂蚁沿AC到上底面,再沿直径CB爬行时,求出AC+BC的长,即可求出蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程.
(3)先根据在侧面沿AB爬行时,得出路程S1,再沿AC再经过直径CB时,得出路程S2,再分两种情况讨论,当S1=S2时两种爬行路程一样和当S1>S2时,得出4h<(π2-4)r,再分别六种情况进行讨论h和r之间的关系,得出蚂蚁怎样爬行的路程最短.
点评:此题主要考查了平面展开-最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
如图 地上有一圆柱 在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁 它想沿圆柱表面爬行.吃到上底面上与A点相对的B点处的食物(π的近似值取3 以下同).(1)当圆柱的高h=12厘米 底
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