问题补充:
如图所示,在平面直角坐标系中,过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A(6,0)、B(0,-8).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的解析式;
(3)设(2)中的抛物线与x轴交于D(x1,y1)、E(x2,y2)两点,且x1<x2,在抛物线上是否存在点P,使△PDE的面积是△ABC面积的?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b
根据题意,得:
解之,得k=,b=-8
∴直线AB的解析式为y=x-8
(2)设抛物线对称轴交x轴于F,
∵∠AOB=90°,
∴AB为圆M的直径,即AM=BM,
∴抛物线的对称轴经过点M,且与y轴平行,OA=6,
∴对称轴方程为x=3,
作对称轴交圆M于C,
∴MF是△AOB的中位线,
∴MF=BO=4,
∴CF=CM-MF=1,
∵点C(3,1),由题意可知C(3,1)就是所求抛物线的顶点.
方法一:设抛物线解析式为y=a(x-3)2+1,
∵抛物线过点B(0,-8),
∴-8=a(0-3)2+1,
解得:a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+1或y=-x2+6x-8;
方法二:∵抛物线过点B(0,-8),
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx-8,
由题意可得:,
∴a=-1,b=6,
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-8;
(3)令-x2+6x-8=0,得x1=2,x2=4,
∴D(2,0),E(4,0),
设P(x,y),
则S△PDE=?DE?|y|=×2|y|=|y|,
S△ABC=S△BCM+S△ACM=?CM?(3+3)=×5×6=15,
若存在这样的点P,则有|y|=×15=3,
从而y=±3,
当y=3时,-x2+6x-8=3,
整理得:x2-6x+11=0,
∵△=(-6)2-4×11<0,
∴此方程无实数根;
当y=-3时,-x2+6x-8=-3,
整理得:x2-6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5,
∴这样的P点存在,且有两个这样的点:P1(1,-3),P2(5,-3).
解析分析:(1)已知了A、B两点的坐标,可用待定系数法求出直线AB的解析式.
(2)已知了A、B的坐标,M是线段AB的中点,不难得出M点的坐标和圆的半径,据此可求出C点的坐标.然后用顶点式二次函数解析式设抛物线,将B点坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值.也就得出了抛物线的解析式.
(3)先求出三角形ABC的面积(可将三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC两部分来求).然后根据三角形ABC与三角形PDE的面积比求出三角形PDE的面积.由于三角形PDE中,DE的长是定值,因此可求出P点的纵坐标的绝对值,将其代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标.
点评:本题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识点.综合性较强,难度适中.
如图所示 在平面直角坐标系中 过坐标原点O的圆M分别交x轴 y轴于点A(6 0) B(0 -8).(1)求直线AB的解析式;(2)若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经
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