问题补充:
如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿射线AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.
(Ⅰ)当△PQB是直角三角形时,求AP的长;
(Ⅱ)连接AQ,CP交于点M,则在点P,Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
答案:
解:(Ⅰ)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t
①当∠PQB=90°时,∵∠B=60°,∴PB=2BQ,得4-t=2t,解得,t=;
②当∠BPQ=90°,∵∠B=60°,∴BQ=2PB,得t=2(4-t),解得t=;
∴当AP=cm或AP=cm时,△PBQ为直角三角形--------------------------
(Ⅱ)①当点P,Q分别在线段AB,BC上运动时,∠CMQ=60°不变.
∵等边△ABC中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°,
又由条件得AP=BQ,∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP(全等三角形的对应角相等),
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°--------
②当点P,Q分别在射线AB,BC上运动时,∠CMQ=120°不变.
∵在等边△ABC中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°,
∴∠PBC=∠ACQ=120°,又由条件得BP=CQ,
∴△PBC≌△ACQ(SAS),
∴∠BPC=∠MQC(全等三角形的对应角相等),
又∵∠PCB=∠MCQ,
∴∠CMQ=∠PBC=120°(等量代换)-------------------------------------------------------------
解析分析:(Ⅰ)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t;需要分类讨论:①当∠PQB=90°时和②当∠BPQ=90°时两种情况,然后在直角三角形中利用30°所对的直角边是斜边的一半可以求得t的值;
(Ⅱ)此题也需要分类讨论:①当点P,Q分别在线段AB,BC上运动时,利用等边三角形的性质和全等三角形(△ABQ≌△CAP)的判定与性质可以证得∠CMQ=60°不变;
②当点P,Q分别在射线AB,BC上运动时,利用等边三角形的性质、全等三角形(△PBC≌△ACQ)的判定与性质可以证得∠CMQ=120°不变.
点评:本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质.解题时,采用了“分类讨论”是数学思想,以防漏解.
如图1 △ABC是边长为4cm的等边三角形 点P Q分别从顶点A B同时出发 沿射线AB BC运动 且它们的速度都为1cm/s.(Ⅰ)当△PQB是直角三角形时 求AP
如果觉得《如图1 △ABC是边长为4cm的等边三角形 点P Q分别从顶点A B同时出发 沿射线AB BC》对你有帮助,请点赞、收藏,并留下你的观点哦!