问题补充:
如图,在△ABC中,∠C=60°,以AB为直径的半圆O分别交AC,BC于点D,E,已知⊙O的半径为.
(1)求证:△CDE∽△CBA;
(2)求DE的长.
答案:
(1)证明:∵四边形ABED为⊙O的内接四边形,
∴∠CED=∠A(或∠CDE=∠B);
又∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBA.
(2)解法1:连接AE.
由(1)得,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=∠AEC=90°.
在Rt△AEC中,∵∠C=60°,∴∠CAE=30°;
∴,即DE=2.
解法2:连接DO,EO.
∵AO=DO=OE=OB,
∴∠A=∠ODA,∠B=∠OEB;
∵四边形ABED为⊙O的内接四边形,
∴∠A=∠CED,∠B=∠CDE;
而∠CDE+∠CED=120°,∠A+∠B+∠ADE+∠DEB=360°,
∴∠ODE+∠OED=120°
则∠DOE=60°,
∴△ODE为等边三角形;
∴DE=OB=2.
解析分析:(1)由圆内接四边形的外角等于它的内对角知,∠CED=∠A(或∠CDE=∠B),又有∠C=∠C,故△CDE∽△CBA.
(2)连接AE.
由(1)中△CDE∽△CBA得DE:BA=CE:CA,由于直径对的圆周角是直角,有∠AEB=∠AEC=90°;
在Rt△AEC中,有∠C=60°,∠CAE=30°.则DE:BA=CE:CA=1:2,即DE=2.
点评:本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理,直角三角形的性质等知识的综合应用能力.
如图 在△ABC中 ∠C=60° 以AB为直径的半圆O分别交AC BC于点D E 已知⊙O的半径为.(1)求证:△CDE∽△CBA;(2)求DE的长.
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