问题补充:
如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以C为旋转中心,顺时针旋转△ABC到△DCE位置,使点A落在BC边的延长线上的E处,连接AD和BD.
(1)求证:△ADC≌△BCD;
(2)请判断△ABE的形状,并证明你的结论.
答案:
解:(1)证明:∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
由旋转可得:△EDC≌△ABC,
∴∠DCE=∠ABC=72°,BC=DC,DE=AB=AC,
又B、C、E三点共线,
∴∠BCD=108°,
∵BC=DC,
∴∠CBD=∠CDB=36°,
又∠E=36°,
∴∠DBE=∠E,
∴BD=ED,
∴BD=CA,
在△ADC和△BCD中,
,
∴△ADC≌△BCD(SAS);
(2)△ABE为等腰三角形,理由为:
证明:∵△ADC≌△BCD,
∴∠ADC=∠BCD=108°,又∠CDE=72°,
∴∠ADC+∠CDE=180°,即A、D、E三点共线,
又∠BAE=∠BAC+∠CAD=72°,∠ABE=72°,
∴∠BAE=∠ABE,
∴AE=BE,即△ABE为等腰三角形.
解析分析:(1)由等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,理由等边对等角得到一对底角相等,再利用内角和定理求出底角的度数,再由顺时针旋转△ABC到△DCE位置,利用旋转的性质得到三角形DEC与三角形ABC全等,利用全等三角形的对应边相等及对应角相等得到AB=AC=DE=CE,BC=DC,∠DCE=∠ABC=72°,由BC=DC得到三角形BCD为等腰三角形,由三角形的内角和定理求出∠DBC为36°,与∠E相等,利用等角对等边得到DB=DE,而DE=AC,故得到BD=AC,利用SAS可得出三角形ADC与三角形BCD全等;
(2)△ABE为等腰三角形,理由为:由第一问得出的三角形ADC与BCD全等,利用全等三角形的对应角相等得到∠ADC=108°,而∠CDE=72°,得出两角互补,即为邻补角,进而确定出A、D、E三点共线,由∠BAC+∠CAD求出∠BAE的度数,发现与∠ABE的度数相等,利用等角对等边可得出EA=EB,即三角形ABE为等腰三角形.
点评:此题考查了等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及旋转的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
如图 等腰△ABC中 AB=AC ∠BAC=36° 以C为旋转中心 顺时针旋转△ABC到△DCE位置 使点A落在BC边的延长线上的E处 连接AD和BD.(1)求证:△
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