已知如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,以斜边AB为直径作半圆,点P为半圆上一点,连接CP,点M为线段CP中点,当点P从A运动到B时,点M的运动路线长度为____________
此类问题的理解难点在于中点M的运动路线如何确定,它的运动是跟随线段CP运动的,因此我们必须先了解它是怎么运动的,最初CP与CA重合,然后绕点C顺时值旋转,同时长度不断发生变化,最终与CB重合。
动点类问题的原则是首先寻找运动中不变的量,那么哪些量是不变化的呢?等腰直角三角形和半圆形状大小固定,点P在半圆上,则它到半圆的圆心距离不变,等于半径,这是第一个,让我们连接半圆圆心O与点P。
同时我们发现,点O为斜边上的中点,那么斜边上的中线OC等于斜边的一半,这又是一个不变的量,连接OC。
这样我们得到了△POC,此时的点M恰好为其边上中点,我们取边OC的中点N,连接MN,得到△POC的中位线MN,根据中位性的性质,MN∥OP且OP=2MN,这是第三个不变的量,也是最关键的一个。
无论点P如何运动,OP始终是MN的2倍,而OP的长度为AB的一半,可求,因此点M到点N的距离始终不变,这让我们联想到“到定点的距离等于定长”这一概念,即点M在以N为圆心的圆上,让我们将这个圆作出△ABC内的那部分。
剩下的任务就很轻松了,图中红色轨迹即为点M运动路径,是一个半圆,请连接AC和BC中点后再观察,根据题中条件,已经可以完成解答了。
动点轨迹类问题,从变化中寻找不变的量,然后探索它们之间的关联,是基本思路,希望能对积极备考的同学有所帮助!
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