一、三角函数
对于函数
周期为
频率=
二、频域上的OFDM
图1：常规FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰，为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。
图2：靠得很近的FDM，实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落），两路信号互相之间可能已经产生干扰了。
还能再近些吗？可以的。这就是OFDM的来历啊，近到完全等同于奈奎斯特带宽（后面有详述），使频带的利用率达到了理论上的最大值。
图3：继续靠近，间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。上面三个图的确有点小儿科，不知道"小白"是不是已经在心里呐喊：这谁不知道呀！不过我在这里花时间画了三张图，总还是有所考量的：
a. 作为上一个章节和本章节之间的补充和连接，说明一下OFDM在频域上面的表现，亦即OFDM的本源来历。
b. 引导思考：信号的带宽是多少？
c. 引导思考：OFDM正交频谱叠加部分到底有多宽呢？结合1.4，先想想，再往下看，会更好。
再次回到正轨，请回看第一节中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。
首先来看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且说说sin(t)的频谱是啥呀？"小白"弱弱的说：是一个冲激。是的，sin(t)是个单一的正弦波，代表着单一的频率，所以其频谱自然是一个冲激。不过其实图一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之内的一小段。无限长度的信号被限制在一小截时间之内，【就好比从一个完整的人身上逮下一根头发，然后把整个人都丢掉，以发代人】其频谱也不再是一个冲激了。
对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc信号（即sin(x)/x信号）。冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：
图3：限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱。
sin(2t)的频谱分析基本相同。需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：
图4：限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱。将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：
图5：a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱
将上述的频域分析配上LTE的实现，有如下情况：
子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子帧共传输14个OFDM symbol【不是15个，留空给CP了】，每一个OFDM symbol携带600个复数信息，因此：
1. 从整个系统来看，波特率为600*14*2/1ms = 16.8MBaud，占据带宽10MHz，因此带宽利用率为16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情况。【注：一是CP占用了每个OFDM Symbol约1/15的资源，二是10MHz的频带并不是满打满算的用于传输数据，其边界频带需要留空以减少与邻近信道的干扰】
2. 单从OFDM一个symbol来看，波特率为600*2/66.7us = 18MBaud，占据带宽600*15kHz=9MHz【不考虑边界子载波带外问题】，因此其带宽利用率为18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的讨论。
附：5M带宽的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即码率为3.84M*2 = 7.68MBaud，带宽5M，所以带宽利用率为7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略逊于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脉冲成型采用滚降系数为0.22的升余弦滤波器，奈奎斯特带宽为3.84M】
原文链接：/madongchunqiu/article/details/18614233
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