一、曲线的参数方程
1.1 参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,yx,yx,y都是某个变数ttt的函数
{x=f(t)y=g(t)(1)\left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned} \right.\tag{1} {x=f(t)y=g(t)(1)并且对于每个ttt的允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)M(x,y)M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)就称为这条曲线的参数方程,联系变数x,yx,yx,y的变数ttt叫做参变数,简称参数。相对参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数ttt可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数。
一个曲线多个参数方程,一个参数方程却只能对应一条曲线;此外,在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。
1.2 圆的参数方程
圆心在原点,半径为rrr,θ\thetaθ为转过的角度。
{x=rcosθy=rsinθθ∈[0,2π)(2)\left\{ \begin{aligned} & x=r\cos\theta\\ & y=r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{2} {x=rcosθy=rsinθθ∈[0,2π)(2)化成普通方程便于观察曲线的类型。另外,若圆心不在原点,若圆心为(a,b)(a,b)(a,b),则对应参数方程应该为:
{x=a+rcosθy=b+rsinθθ∈[0,2π)(3)\left\{ \begin{aligned} & x=a+r\cos\theta\\ & y=b+r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{3} {x=a+rcosθy=b+rsinθθ∈[0,2π)(3)
1.3 参数方程和普通方程的互化
一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程;若已知普通方程,可以通过令x=f(t)x=f(t)x=f(t),再将xxx带入普通方程来转化成参数方程。特别注意x,y,θx,y,\thetax,y,θ的取值范围。
二、圆锥曲线
2.1 椭圆的参数方程
长轴长为a,短轴长为b的椭圆的普通方程为:
x2a2+y2b2=1(a>b>0)(4)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)\tag{4} a2x2+b2y2=1(a>b>0)(4)
对应的参数方程为:
{x=acosϕy=bsinϕϕ∈[0,2π)(5)\left\{ \begin{aligned} &x=a\cos\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{5} {x=acosϕy=bsinϕϕ∈[0,2π)(5)
2.2 双曲线的参数方程
若双曲线的普通方程为:
x2a2−y2b2=1(a>0b>0)(5)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0\quad b>0)\tag{5} a2x2−b2y2=1(a>0b>0)(5)
则对应的参数方程为:
{x=asecϕy=bsinϕϕ∈[0,2π)(6)\left\{ \begin{aligned} &x=a\sec\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{6} {x=asecϕy=bsinϕϕ∈[0,2π)(6)ϕ\phiϕ为参数,满足条件:
ϕ∈[0,2π)\phi\in[0,2\pi)ϕ∈[0,2π)ϕ≠π2ϕ≠3π2\phi\ne\frac{\pi}{2}\quad \phi\ne\frac{3\pi}{2}ϕ=2πϕ=23π
python中似乎没有sec\secsec函数,总之等于余弦的倒数就对了:
secϕ=1cosϕ\sec\phi=\frac{1}{cos\phi} secϕ=cosϕ1
2.3 抛物线方程
设抛物线普通方程为
y2=2px(7)y^2=2px\tag{7} y2=2px(7)
其中,ppp表示焦点在顶点的距离。参数方程如下:
{x=2ptan2αy=2ptanα(8)\left\{ \begin{aligned} &x=\frac{2p}{\tan^2\alpha}\\ &y=\frac{2p}{\tan\alpha} \end{aligned}\tag{8} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧x=tan2α2py=tanα2p(8)
令t=1tanαt=\frac{1}{\tan\alpha}t=tanα1,(8)变成:
{x=2pt2y=2pt(9)\left\{ \begin{aligned} &x=2pt^2\\ &y=2pt \end{aligned}\tag{9} \right. {x=2pt2y=2pt(9)
t∈(−∞,0)∪(0,+∞)t\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)t∈(−∞,0)∪(0,+∞),α\alphaα除顶点外任意一点与顶点连线与OxOxOx夹角,显然当t=0t=0t=0时恰好是抛物线原点,ttt表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。
三、直线
过点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)倾角为α\alphaα的直线lll,其普通方程为:
y−y0=tanα(x−x0)(10)y-y_0=\tan\alpha(x-x_0)\tag{10} y−y0=tanα(x−x0)(10)
对应的参数方程为:
{x=x0+tcosαy=y0+tsinα(11)\left\{ \begin{aligned} &x=x_0+t\cos\alpha\\ &y=y_0+t\sin\alpha \end{aligned} \right.\tag{11} {x=x0+tcosαy=y0+tsinα(11)
ttt为参数,其绝对值等于动点PPP到P0P0P0的距离,即:
∣t∣=∣PP0∣(12)|t|=|PP0|\tag{12} ∣t∣=∣PP0∣(12)
四、渐开线和摆线
4.1 渐开线参数方程,
渐伸线(involute)(或称渐开线(evolvent))和渐屈线(evolute)是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线,曲线B是曲线A的渐屈线。
在曲线上选一定点SSS。有一动点P由S出发沿曲线移动,选在PPP的切线上的QQQ,使得曲线长SPSPSP和直线段长PQPQPQ 相同。渐伸线就是QQQ的轨迹。圆的渐开线方程为:
{x=r(cosϕ+ϕsinϕ)y=r(sinϕ−ϕcosϕ)(13)\left\{ \begin{aligned} &x=r(\cos\phi+\phi\sin\phi)\\ &y=r(\sin\phi-\phi\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{13} {x=r(cosϕ+ϕsinϕ)y=r(sinϕ−ϕcosϕ)(13)
ϕ\phiϕ是参数。
在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳,制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形,设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。
4.2 摆线
对应的参数方程为:
{x=r(ϕ−sinϕ)y=r(1−cosϕ)(14)\left\{ \begin{aligned} &x=r(\phi-\sin\phi)\\ &y=r(1-\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{14} {x=r(ϕ−sinϕ)y=r(1−cosϕ)(14)
ϕ\phiϕ是参数。
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