曲线的参数方程简介

一、曲线的参数方程

1.1 参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,yx,yx,y都是某个变数ttt的函数

{x=f(t)y=g(t)(1)\left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned} \right.\tag{1} {​x=f(t)y=g(t)​(1)并且对于每个ttt的允许值，由方程组（1）所确定的点M(x,y)M(x,y)M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（1）就称为这条曲线的参数方程，联系变数x,yx,yx,y的变数ttt叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数ttt可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

一个曲线多个参数方程，一个参数方程却只能对应一条曲线；此外，在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。

1.2 圆的参数方程

圆心在原点，半径为rrr,θ\thetaθ为转过的角度。

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θθ∈[0,2π)(2)\left\{ \begin{aligned} & x=r\cos\theta\\ & y=r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{2} {​x=rcosθy=rsinθ​θ∈[0,2π)(2)化成普通方程便于观察曲线的类型。另外，若圆心不在原点，若圆心为(a,b)(a,b)(a,b)，则对应参数方程应该为：

{x=a+rcos⁡θy=b+rsin⁡θθ∈[0,2π)(3)\left\{ \begin{aligned} & x=a+r\cos\theta\\ & y=b+r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{3} {​x=a+rcosθy=b+rsinθ​θ∈[0,2π)(3)

1.3 参数方程和普通方程的互化

一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程；若已知普通方程，可以通过令x=f(t)x=f(t)x=f(t)，再将xxx带入普通方程来转化成参数方程。特别注意x,y,θx,y,\thetax,y,θ的取值范围。

二、圆锥曲线

2.1 椭圆的参数方程

长轴长为a，短轴长为b的椭圆的普通方程为：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）(4)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad（a>b>0）\tag{4} a2x2​+b2y2​=1（a>b>0）(4)

对应的参数方程为：

{x=acos⁡ϕy=bsin⁡ϕϕ∈[0,2π)(5)\left\{ \begin{aligned} &x=a\cos\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{5} {​x=acosϕy=bsinϕ​ϕ∈[0,2π)(5)

2.2 双曲线的参数方程

若双曲线的普通方程为：

x2a2−y2b2=1（a>0b>0）(5)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad（a>0\quad b>0）\tag{5} a2x2​−b2y2​=1（a>0b>0）(5)

则对应的参数方程为：

{x=asec⁡ϕy=bsin⁡ϕϕ∈[0,2π)(6)\left\{ \begin{aligned} &x=a\sec\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{6} {​x=asecϕy=bsinϕ​ϕ∈[0,2π)(6)ϕ\phiϕ为参数，满足条件：

ϕ∈[0,2π)\phi\in[0,2\pi)ϕ∈[0,2π)ϕ≠π2ϕ≠3π2\phi\ne\frac{\pi}{2}\quad \phi\ne\frac{3\pi}{2}ϕ​=2π​ϕ​=23π​

python中似乎没有sec⁡\secsec函数，总之等于余弦的倒数就对了：

sec⁡ϕ=1cosϕ\sec\phi=\frac{1}{cos\phi} secϕ=cosϕ1​

2.3 抛物线方程

设抛物线普通方程为

y2=2px(7)y^2=2px\tag{7} y2=2px(7)

其中，ppp表示焦点在顶点的距离。参数方程如下：

{x=2ptan⁡2αy=2ptan⁡α(8)\left\{ \begin{aligned} &x=\frac{2p}{\tan^2\alpha}\\ &y=\frac{2p}{\tan\alpha} \end{aligned}\tag{8} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧​​x=tan2α2p​y=tanα2p​​(8)

令t=1tan⁡αt=\frac{1}{\tan\alpha}t=tanα1​，(8)变成：

{x=2pt2y=2pt(9)\left\{ \begin{aligned} &x=2pt^2\\ &y=2pt \end{aligned}\tag{9} \right. {​x=2pt2y=2pt​(9)

t∈(−∞,0)∪(0,+∞)t\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)t∈(−∞,0)∪(0,+∞)，α\alphaα除顶点外任意一点与顶点连线与OxOxOx夹角，显然当t=0t=0t=0时恰好是抛物线原点，ttt表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。

三、直线

过点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0​(x0​,y0​)倾角为α\alphaα的直线lll，其普通方程为：

y−y0=tan⁡α(x−x0)(10)y-y_0=\tan\alpha(x-x_0)\tag{10} y−y0​=tanα(x−x0​)(10)

对应的参数方程为：

{x=x0+tcos⁡αy=y0+tsin⁡α(11)\left\{ \begin{aligned} &x=x_0+t\cos\alpha\\ &y=y_0+t\sin\alpha \end{aligned} \right.\tag{11} {​x=x0​+tcosαy=y0​+tsinα​(11)

ttt为参数，其绝对值等于动点PPP到P0P0P0的距离，即：

∣t∣=∣PP0∣(12)|t|=|PP0|\tag{12} ∣t∣=∣PP0∣(12)

四、渐开线和摆线

4.1 渐开线参数方程，

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点SSS。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在PPP的切线上的QQQ，使得曲线长SPSPSP和直线段长PQPQPQ 相同。渐伸线就是QQQ的轨迹。圆的渐开线方程为：

{x=r(cos⁡ϕ+ϕsin⁡ϕ)y=r(sin⁡ϕ−ϕcos⁡ϕ)(13)\left\{ \begin{aligned} &x=r(\cos\phi+\phi\sin\phi)\\ &y=r(\sin\phi-\phi\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{13} {​x=r(cosϕ+ϕsinϕ)y=r(sinϕ−ϕcosϕ)​(13)

ϕ\phiϕ是参数。

在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳，制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形，设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

4.2 摆线

对应的参数方程为：

{x=r(ϕ−sin⁡ϕ)y=r(1−cos⁡ϕ)(14)\left\{ \begin{aligned} &x=r(\phi-\sin\phi)\\ &y=r(1-\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{14} {​x=r(ϕ−sinϕ)y=r(1−cosϕ)​(14)

ϕ\phiϕ是参数。

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