数值分析(10)-数值微分

整理一下数值分析的笔记~

目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分(THIS)

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

1.1 两点向前差分公式：

f′(x)=f(x+h)−f(x)h+(−h2f′′(c))f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+(-\frac{h}{2}f''(c))f′(x)=hf(x+h)−f(x)​+(−2h​f′′(c))，后半部分是预测误差，需要求得该误差在给定区间上得一个范围

1.2 两点向后差分公式：

f′(x)=f(x)−f(x−h)h+(h2f′′(c))f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}+(\frac{h}{2}f''(c))f′(x)=hf(x)−f(x−h)​+(2h​f′′(c))，后半部分是预测误差，需要求得该误差在给定区间上得一个范围

1.3 三点中心差分公式：

f′(x)=f(x+h)−f(x−h)2h+(−h26f′′′(c))f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+(-\frac{h^2}{6}f'''(c))f′(x)=2hf(x+h)−f(x−h)​+(−6h2​f′′′(c))

最优步长h=33εMh=^3\sqrt{\frac{3\varepsilon}{M}}h=3M3ε​​

1.4 二阶导数三点中点差分公式：

f′′(x)=f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2+(−h212f(4)(c))f''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+(-\frac{h^2}{12}f^{(4)}(c))f′′(x)=h2f(x+h)−2f(x)+f(x−h)​+(−12h2​f(4)(c))

1.5 外推(理查德森外推)

理查德森外推就是将公式中得步长替换为原来得一半，得n阶外推公式：

Q≈2nFn(h2)−Fn(h)2n−1=Fn+1(h)Q \approx \frac{2^nF_n(\frac{h}{2})-F_n(h)}{2^n-1}=F_{n+1}(h) Q≈2n−12nFn​(2h​)−Fn​(h)​=Fn+1​(h)

{持续更新}

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