学习来源：清风老师
灰色预测
灰色系统
GM(1,1)模型: Grey(Gray) Model
GM(1,1)是使用原始的离散非负数据列，通过一次累加生成削弱随机性的较有规律的新的离散数据列，然后通过建立微分方程模型，得到在离散点处的解经过累减生成的原始数据的近似估计值，从而预测原始数据的后续发展。
GM(1,1)模型，第一个‘1’表示微分方程是一阶的，后面的‘1’表示只有一个变量
GM(1,1)原理介绍
最小二乘法
OLS原理介绍
完全多重共线性问题再探究
一阶微分方程
一阶齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程
准指数规律的检验
发展系数与预测情形的探究
GM(1,1)模型的评价
GM(1,1)模型的拓展
什么时候用灰色预测？
数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度数据一定要用我们上一讲学过的时间序列模型）数据能经过准指数规律的检验（除了前两期外，后面至少90%的期数的光滑比要低于0.5）数据的期数较短且和其他数据之间的关联性不强（小于等于10，也不能太短了，比如只有3期数据），要是数据期数较长，一般用传统的时间序列模型比较合适。灰色预测的例题
预测的题目的一些小套路
看到数据后先画时间序列图并简单的分析下趋势（例如：我们上一讲学过的时间序列分解）将数据分为训练组和试验组，尝试使用不同的模型对训练组进行建模，并利用试验组的数据判断哪种模型的预测效果最好（比如我们可以使用SSE这个指标来挑选模型，常见的模型有指数平滑、ARIMA、灰色预测、神经网络等）选择上一步骤中得到的预测误差最小的那个模型，并利用全部数据来重新建模，并对未来的数据进行预测画出预测后的数据和原来数据的时序图，看看预测的未来趋势是否合理GM(1,1)模型代码
画出原始数据的时间序列图，并判断原始数据中是否有负数或期数是否低于4期，如果是的话则报错，否则执行下一步对一次累加后的数据进行准指数规律检验，返回两个指标：指标1：光滑比小于0.5的数据占比（一般要大于60%）
指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比（一般大于90%）
并让用户决定数据是否满足准指数规律，满足则输入1，不满足则输入0如果上一步用户输入0，则程序停止；如果输入1，则继续下面的步骤。让用户输入需要预测的后续期数，并判断原始数据的期数：
4.1 数据期数为4：
分别计算出传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型和新陈代谢GM(1,1)模型对于未来期数的预测结果，为了保证结果的稳健性，对三个结果求平均值作为预测值。
4.2 数据期数为5,6或7：
取最后两期为试验组，前面的n-2期为训练组；用训练组的数据分别训练三种GM模型，并将训练出来的模型分别用于预测试验组的两期数据；利用试验组两期的真实数据和预测出来的两期数据，可分别计算出三个模型的SSE；选择SSE最小的模型作为我们建模的模型。
4.3 数据期数大于7：
取最后三期为试验组，其他的过程和4.2类似。输出并绘制图形显示预测结果，并进行残差检验和级比偏差检验。
main
%% 输入原始数据并做出时间序列图clear;clcyear =[1995:1:]'; % 横坐标表示年份，写成列向量的形式（加'就表示转置）x0 = [174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285]'; %原始数据序列，写成列向量的形式（加'就表示转置）%测试数据% year = [:]; % 其实本程序写成了行向量也可以，因为我怕你们真的这么写了，所以在后面会有判断。% x0 = [730, 679, 632, 599, 589, 532, 511];% year = [:]'; % 该数据很特殊，可以通过准指数规律检验，但是预测效果却很差% x0 = [1.321,0.387,0.651,0.985,1.235,0.987,0.854,1.021]';% year = [:]';% x0 = [2.874,3.278,3.337,3.390]';% 画出原始数据的时间序列图figure(1); % 因为我们的图形不止一个，因此要设置编号plot(year,x0,'o-'); grid on; % 原式数据的时间序列图set(gca,'xtick',year(1:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1%改到自己论文，改标签xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签%% 因为我们要使用GM(1,1)模型，其适用于数据期数较短的非负时间序列ERROR = 0; % 建立一个错误指标，一旦出错就指定为1% 判断是否有负数元素if sum(x0<0) > 0 % x0<0返回一个逻辑数组(0-1组成)，如果有数据小于0，则所在位置为1，如果原始数据均为非负数，那么这个逻辑数组中全为0，求和后也是0~disp('灰色预测的时间序列中不能有负数')ERROR = 1;end% 判断数据量是否太少n = length(x0); % 计算原始数据的长度disp(strcat('原始数据的长度为',num2str(n))) % strcat()是连接字符串的函数，第一讲学了，可别忘了哦if n<=3disp('数据量太小')ERROR = 1;end% 数据太多时提示可考虑使用其他方法（不报错）if n>10disp('这么多数据量，一定要考虑使用其他的方法，例如ARIMA，指数平滑等')end% 判断数据是否为列向量，如果输入的是行向量则转置为列向量if size(x0,1) == 1x0 = x0';endif size(year,1) == 1year = year';end%% 对一次累加后的数据进行准指数规律的检验(注意，这个检验有时候即使能通过，也不一定能保证预测结果非常好，例如上面的第三组数据)if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤disp('------------------------------------------------------------')disp('准指数规律检验')x1 = cumsum(x0); % 生成1-AGO序列，cumsum是累加函数哦~ 注意：1.0e+03 *0.1740的意思是科学计数法,即10^3*0.1740 = 174rho = x0(2:end) ./ x1(1:end-1) ; % 计算光滑度rho(k) = x0(k)/x1(k-1)% 画出光滑度的图形，并画上0.5的直线，表示临界值figure(2)plot(year(2:end),rho,'o-',[year(2),year(end)],[0.5,0.5],'-'); grid on;text(year(end-1)+0.2,0.55,'临界线') % 在坐标(year(end-1)+0.2,0.55)上添加文本set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1xlabel('年份'); ylabel('原始数据的光滑度'); % 给坐标轴加上标签disp(strcat('指标1：光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho<0.5)/(n-1)),'%'))disp(strcat('指标2：除去前两个时期外，光滑比小于0.5的数据占比为',num2str(100*sum(rho(3:end)<0.5)/(n-3)),'%'))disp('参考标准：指标1一般要大于60%, 指标2要大于90%，你认为本例数据可以通过检验吗？')Judge = input('你认为可以通过准指数规律的检验吗？可以通过请输入1，不能请输入0：');if Judge == 0disp('灰色预测模型不适合你的数据哦~ 请考虑其他方法吧 例如ARIMA，指数平滑等')ERROR = 1;enddisp('------------------------------------------------------------')end%% 当数据量大于4时，我们利用试验组来选择使用传统的GM(1,1)模型、新信息GM(1,1)模型还是新陈代谢GM(1,1)模型； 如果数据量等于4，那么我们直接对三种方法求一个平均来进行预测if ERROR == 0 % 如果上述错误均没有发生时，才能执行下面的操作步骤if n > 4 % 数据量大于4时，将数据分为训练组和试验组(根据原数据量大小n来取，n为5-7个则取最后两年为试验组，n大于7则取最后三年为试验组)disp('因为原数据的期数大于4，所以我们可以将数据组分为训练组和试验组') % 注意，如果试验组的个数只有1个，那么三种模型的结果完全相同，因此至少要取2个试验组if n > 7test_num = 3;elsetest_num = 2;endtrain_x0 = x0(1:end-test_num); % 训练数据disp('训练数据是: ')disp(mat2str(train_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示, 这里加一撇表示转置，把列向量变成行向量方便观看test_x0 = x0(end-test_num+1:end); % 试验数据disp('试验数据是: ')disp(mat2str(test_x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示disp('------------------------------------------------------------')% 使用三种模型对训练数据进行训练，返回的result就是往后预测test_num期的数据disp(' ')disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')result1 = gm11(train_x0, test_num); %使用传统的GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果disp(' ')disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')result2 = new_gm11(train_x0, test_num); %使用新信息GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果disp(' ')disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')result3 = metabolism_gm11(train_x0, test_num); %使用新陈代谢GM(1,1)模型对训练数据，并预测后test_num期的结果% 现在比较三种模型对于试验数据的预测结果disp(' ')disp('------------------------------------------------------------')% 绘制对试验数据进行预测的图形（对于部分数据，可能三条直线预测的结果非常接近）test_year = year(end-test_num+1:end); % 试验组对应的年份figure(3)plot(test_year,test_x0,'o-',test_year,result1,'*-',test_year,result2,'+-',test_year,result3,'x-'); grid on;set(gca,'xtick',year(end-test_num+1): 1 :year(end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1legend('试验组的真实数据','传统GM(1,1)预测结果','新信息GM(1,1)预测结果','新陈代谢GM(1,1)预测结果') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签% 计算误差平方和SSESSE1 = sum((test_x0-result1).^2);SSE2 = sum((test_x0-result2).^2);SSE3 = sum((test_x0-result3).^2);disp(strcat('传统GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE1)))disp(strcat('新信息GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE2)))disp(strcat('新陈代谢GM(1,1)对于试验组预测的误差平方和为',num2str(SSE3)))if SSE1<SSE2if SSE1<SSE3choose = 1; % SSE1最小，选择传统GM(1,1)模型elsechoose = 3; % SSE3最小，选择新陈代谢GM(1,1)模型endelseif SSE2<SSE3choose = 2; % SSE2最小，选择新信息GM(1,1)模型elsechoose = 3; % SSE3最小，选择新陈代谢GM(1,1)模型endModel = {'传统GM(1,1)模型','新信息GM(1,1)模型','新陈代谢GM(1,1)模型'};disp(strcat('因为',Model(choose),'的误差平方和最小，所以我们应该选择其进行预测'))disp('------------------------------------------------------------')%% 选用误差最小的那个模型进行预测predict_num = input('请输入你要往后面预测的期数： ');% 计算使用传统GM模型的结果，用来得到另外的返回变量：x0_hat, 相对残差relative_residuals和级比偏差eta[result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num); % 先利用gm11函数得到对原数据拟合的详细结果% % 判断我们选择的是哪个模型，如果是2或3，则更新刚刚由模型1计算出来的预测结果if choose == 2result = new_gm11(x0, predict_num);endif choose == 3result = metabolism_gm11(x0, predict_num);end%% 输出使用最佳的模型预测出来的结果disp('------------------------------------------------------------')disp('对原始数据的拟合结果：')for i = 1:ndisp(strcat(num2str(year(i)), ' ： ',num2str(x0_hat(i))))enddisp(strcat('往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))for i = 1:predict_numdisp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result(i))))end%% 如果只有四期数据，那么我们就没必要选择何种模型进行预测，直接对三种模型预测的结果求一个平均值~elsedisp('因为数据只有4期，因此我们直接将三种方法的结果求平均即可~')predict_num = input('请输入你要往后面预测的期数： ');disp(' ')disp('***下面是传统的GM(1,1)模型预测的详细过程***')[result1, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num);disp(' ')disp('***下面是进行新信息的GM(1,1)模型预测的详细过程***')result2 = new_gm11(x0, predict_num);disp(' ')disp('***下面是进行新陈代谢的GM(1,1)模型预测的详细过程***')result3 = metabolism_gm11(x0, predict_num);result = (result1+result2+result3)/3;disp('对原始数据的拟合结果：')for i = 1:ndisp(strcat(num2str(year(i)), ' ： ',num2str(x0_hat(i))))enddisp(strcat('传统GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))for i = 1:predict_numdisp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result1(i))))enddisp(strcat('新信息GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))for i = 1:predict_numdisp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result2(i))))enddisp(strcat('新陈代谢GM(1,1)往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))for i = 1:predict_numdisp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result3(i))))enddisp(strcat('三种方法求平均得到的往后预测',num2str(predict_num),'期的得到的结果：'))for i = 1:predict_numdisp(strcat(num2str(year(end)+i), ' ： ',num2str(result(i))))endend%% 绘制相对残差和级比偏差的图形(注意：因为是对原始数据的拟合效果评估，所以三个模型都是一样的哦~~~)figure(4)subplot(2,1,1) % 绘制子图（将图分块）plot(year(2:end), relative_residuals,'*-'); grid on; % 原数据中的各时期和相对残差legend('相对残差'); xlabel('年份');set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1subplot(2,1,2)plot(year(2:end), eta,'o-'); grid on; % 原数据中的各时期和级比偏差legend('级比偏差'); xlabel('年份');set(gca,'xtick',year(2:1:end)) % 设置x轴横坐标的间隔为1disp(' ')disp('****下面将输出对原数据拟合的评价结果***')%% 残差检验average_relative_residuals = mean(relative_residuals); % 计算平均相对残差 mean函数用来均值disp(strcat('平均相对残差为',num2str(average_relative_residuals)))if average_relative_residuals<0.1disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错')elseif average_relative_residuals<0.2disp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度达到一般要求')elsedisp('残差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度不太好，建议使用其他模型预测')end%% 级比偏差检验average_eta = mean(eta); % 计算平均级比偏差disp(strcat('平均级比偏差为',num2str(average_eta)))if average_eta<0.1disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度非常不错')elseif average_eta<0.2disp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度达到一般要求')elsedisp('级比偏差检验的结果表明：该模型对原数据的拟合程度不太好，建议使用其他模型预测')enddisp(' ')disp('------------------------------------------------------------')%% 绘制最终的预测效果图figure(5) % 下面绘图中的符号m:洋红色 b:蓝色plot(year,x0,'-o', year,x0_hat,'-*m', year(end)+1:year(end)+predict_num,result,'-*b' ); grid on;hold on;plot([year(end),year(end)+1],[x0(end),result(1)],'-*b')legend('原始数据','拟合数据','预测数据') % 注意：如果lengend挡着了图形中的直线，那么lengend的位置可以自己手动拖动set(gca,'xtick',[year(1):1:year(end)+predict_num]) % 设置x轴横坐标的间隔为1xlabel('年份'); ylabel('排污总量'); % 给坐标轴加上标签end
gm11
function [result, x0_hat, relative_residuals, eta] = gm11(x0, predict_num)% 函数作用：使用传统的GM(1,1)模型对数据进行预测%x0：要预测的原始数据%predict_num： 向后预测的期数% 输出变量 （注意，实际调用时该函数时不一定输出全部结果，就像corrcoef函数一样~，可以只输出相关系数矩阵，也可以附带输出p值矩阵）%result：预测值%x0_hat：对原始数据的拟合值%relative_residuals： 对模型进行评价时计算得到的相对残差%eta： 对模型进行评价时计算得到的级比偏差n = length(x0); % 数据的长度x1=cumsum(x0); % 计算一次累加值z1 = (x1(1:end-1) + x1(2:end)) / 2; % 计算紧邻均值生成数列（长度为n-1）% 将从第二项开始的x0当成y，z1当成x，来进行一元回归 y = kx +by = x0(2:end); x = z1;% 下面的表达式就是第四讲拟合里面的哦~ 但是要注意，此时的样本数应该是n-1，少了一项哦k = ((n-1)*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/((n-1)*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x));a = -k; %注意：k = -a哦% 注意： -a就是发展系数, b就是灰作用量disp('现在进行GM(1,1)预测的原始数据是: ')disp(mat2str(x0')) % mat2str可以将矩阵或者向量转换为字符串显示disp(strcat('最小二乘法拟合得到的发展系数为',num2str(-a),'，灰作用量是',num2str(b)))disp('***************分割线***************')x0_hat=zeros(n,1); x0_hat(1)=x0(1); % x0_hat向量用来存储对x0序列的拟合值，这里先进行初始化for m = 1: n-1x0_hat(m+1) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*m);endresult = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量for i = 1: predict_numresult(i) = (1-exp(a))*(x0(1)-b/a)*exp(-a*(n+i-1)); % 带入公式直接计算end% 计算绝对残差和相对残差absolute_residuals = x0(2:end) - x0_hat(2:end); % 从第二项开始计算绝对残差，因为第一项是相同的relative_residuals = abs(absolute_residuals) ./ x0(2:end); % 计算相对残差，注意分子要加绝对值，而且要使用点除% 计算级比和级比偏差class_ratio = x0(2:end) ./ x0(1:end-1) ; % 计算级比 sigma(k) = x0(k)/x0(k-1)eta = abs(1-(1-0.5*a)/(1+0.5*a)*(1./class_ratio)); % 计算级比偏差end
new_gm11
function [result] = new_gm11(x0, predict_num)% 函数作用：使用新信息的GM(1,1)模型对数据进行预测% 输入变量%x0：要预测的原始数据%predict_num： 向后预测的期数% 输出变量%result：预测值result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量for i = 1 : predict_num result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中x0 = [x0; result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息endend
metabolism_gm11
function [result] = metabolism_gm11(x0, predict_num)% 函数作用：使用新陈代谢的GM(1,1)模型对数据进行预测% 输入变量%x0：要预测的原始数据%predict_num： 向后预测的期数% 输出变量%result：预测值result = zeros(predict_num,1); % 初始化用来保存预测值的向量for i = 1 : predict_num result(i) = gm11(x0, 1); % 将预测一期的结果保存到result中x0 = [x0(2:end); result(i)]; % 更新x0向量，此时x0多了新的预测信息，并且删除了最开始的那个向量endend
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