有一个12品脱(pint)的酒瓶,里面装满葡萄酒,另有8品脱和5品脱的瓶子各一个。问如何从中分出6品脱的酒出来?
传说泊松年轻时成功解决了该问题,勾起了他对数学的兴趣而投身数学研究,因此该问题被称为泊松分酒问题。另外这个问题又被称为分油问题啦,分水问题啦等等。
小学的时候在一本《十万个问什么——数学卷》中看到过这个问题,那本书直接给出了一个解答过程,又没说原理,看得我糊里糊涂。
一 . 解答过程
为了方便说明,将容量为12品脱,8品脱,5品脱瓶子分别称为大瓶子,中瓶子,小瓶子。按照下面2种规则中的如何一种可以解决这个问题:
第一套规则:
1. 大瓶子只能倒入中瓶子
2. 中瓶子只能倒入小瓶子
3. 小瓶子只能倒入大瓶子
4. 小瓶子只有在已经装满的情况下才能倒入大瓶子
5. 若小瓶子被倒空,则无论中瓶子是否满,应马上从中瓶子倒入小瓶子
之所以要规定倒酒的顺序是为了防止状态重复。而根据这5条规则,大瓶子每次倒入中瓶子的酒总是8品脱,小瓶子每次倒入大瓶子的酒总是5品脱。(请结合下面的表来理解这句话,理解这点很重要)
有了上面的规定后,倒酒的顺序就确定下来了:
第二套规则:
1. 大瓶子只能倒入小瓶子
2. 小瓶子只能倒入中瓶子
3. 中瓶子只能倒入大瓶子
4. 中瓶子只有在已经装满的情况下才能倒入大瓶子
5. 若中瓶子被倒空,则无论小瓶子是否满,应马上将小瓶子倒入中瓶子
其实只是将第一套规则中的“中”和“小”两个字对换了一下。
根据这个规则确定的倒酒的顺序如下(注意,我将8品脱和5品脱的位置交换了一下):
好了试试用这两种规则之一解决如下分酒问题吧: 大瓶子容量10,中瓶子容量7,小瓶子容量3,要分出来5
二. 原理
设大,中,小三个瓶子容量分别是C1,C2,C3,需要倒出的容量是R
则实际上要是我们能将容量为R的酒倒到中瓶子和小瓶子中就可以啦(有点废话)
设大瓶子倒满中瓶子X次,从小瓶子中倒入大瓶子Y次。
那么显然由大瓶子累次倒入中瓶子和小瓶子总共C2*X的酒。而由小瓶子倒入大瓶子一共有C3*Y的酒。
那么最终,小瓶子和中瓶子剩余的酒显然就是 C2*X - C3*Y
因此,泊松分酒问题实质上转化为下面的不定方程是否有正整数解的问题:
C2*X - C3*Y = R
对于我们的问题,
C1=12,C2=8,C3=5,R=6
第一种倒酒规则实质上相当于解下面这个不定方程:
8X - 5Y = 6 ( 限定 X > 0 ,Y > 0 )
最小整数解是 X=2,Y= 2
表示倒满8品脱的瓶子2次,5品脱的瓶子倒空2次
那么8品脱的瓶子和5品脱的瓶子剩酒总量必然是 8 * 2 – 5 * 2 = 6
第二种倒酒规则实质上相当于解下面的不定方程:
5X - 8Y = 6 ( 限定 X > 0 , Y > 0 )
最小整数解是 X = 6 ,Y= 3
表示倒进5品脱瓶子6次,从8品脱瓶子中倒出3次
那么最终5品脱和8品脱的瓶子剩酒总量必然是 5 * 6 – 8 * 3 = 6
好了,现在你明白为什么要规定倒酒的顺序了吧。小瓶子和中瓶子是一个系统,而大瓶子又是另外一个系统,大瓶子的酒只能倒入中瓶子和小瓶子组成的系统,小瓶子的酒只能倒出到大瓶子的系统。我们关注的是由中瓶子和小瓶子组成的系统,这个系统每次增加都是8品脱(中瓶子容量),每次减少都是5品脱(小瓶子容量)。
另外,如果存在X和Y,使得下面的方程有解:
C2*X - C3*Y = 1
实质上就是说能够倒出1品脱的酒,那么任意品脱的酒都能倒出了。
因为:
(C2*X - C3*Y)*N = N
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