严格递增
最长递增子序列，给定一个无序整数数组nums（字符串也可以，不重要），给出最长严格递增子序列的长度。比如输入[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]，输出3，最长递增子序列[1, 2, 4]，当然可能不唯一，[-1, 1, 4]也是一个，但是并不影响长度。
强行遍历就不说了，时间复杂度O(2^n)，简直爆炸。
思路1：动态规划，建立一个数组dp，dp[i]记录nums[0:i]的最长递增子序列的长度。
dp[i]=max(dp[j]+1)，j∈{j∣nums[j]<nums[i],0<=j<i}dp[i] = max(dp[j]+1)，j∈\{ j | nums[j] < nums[i], 0 <= j < i\} dp[i]=max(dp[j]+1)，j∈{j∣nums[j]<nums[i],0<=j<i}
输出max(dp)即可，时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)。
public int maxLengthCSub(int[] nums) {if(nums == null) {return 0;}int len = nums.length;if(len == 0 || len == 1) {return len;}int maxLen = 1;int[] dp = new int[len];for(int i = 0; i < len; i++) {dp[i] = 1;for(int j = 0; j < i; j++) {if(nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1); // 更新dp[i]maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]); // 更新最大值}}}return maxLen;}
思路2：动态规划+二分查找
同样建立一个数组dp，但是这里dp记录的是上升子序列，遍历nums室，用nums的元素填充dp，填充规则是什么呢？首先利用二分查找找到nums[i]在dp中应该插入的位置j，若j==当前dp的长度，则在dp末尾插入nums[i]，maxLen加一，否则dp[j]=nums[i]。这里可能有个疑问，比如说nums[i0]=1放入dp[1]，在后面的遍历中有一个nums[i1]=-1也需要放入dp[1]，此时不会影响长度的计算吗？答案是不会，用一个例子比较容易理解。
input:[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]dp:[1], maxLen = 1dp:[1, 2], maxLen = 2dp:[1, 2], maxLen = 2dp:[-1, 2], maxLen = 2dp:[-1, 1], maxLen = 2dp:[-1, 1, 4], maxLen = 3dp:[-1, 0, 4], maxLen = 3
这里[-1, 0, 4]虽然不是一个最长递增子序列，但是并不会影响maxLen的值。
时间复杂度O(nlgn)，空间复杂度O(n)。
public int maxLengthCSub(int[] nums) {if(nums == null) {return 0;}if(nums.length == 0 || nums.length == 1){return nums.length;}int[] dp = new int[nums.length];int maxLen = 0;for(int i = 0; i < nums.length; i++){int index = findIndex(dp, maxLen, nums[i]);dp[index] = nums[i];if(index == maxLen)maxLen++;}return maxLen;}// 二分查找，找到target在nums[0:len-1]的插入位置public int findIndex(int[] nums, int len, int target){if(len == 0)return 0;int low = 0;int high = len;if(target <= nums[low])return 0;if(target > nums[len-1])return len;while(low < high){int middle = low + (high-low)/2;if(target > nums[middle]) // 右边low = middle + 1;else high = middle;}return low;}
非严格递增
思路1：同严格递增的思路1，只需要在比较的时候加个等号：
dp[i]=max(dp[j]+1)，j∈{j∣nums[j]<=nums[i],0<=j<i}dp[i] = max(dp[j]+1)，j∈\{ j | nums[j] <= nums[i], 0 <= j < i\} dp[i]=max(dp[j]+1)，j∈{j∣nums[j]<=nums[i],0<=j<i}
思路2：基本类似严格递增的思路1，但是这里插入的规则是要变的，不再是用二分查找插入dp，其插入位置要保证
dp[i−1]<=dp[i]<dp[i+1]dp[i-1] <= dp[i] < dp[i+1] dp[i−1]<=dp[i]<dp[i+1]
边界情况这里就不分析了，程序里也不需要进行分析，只需要求出i即可，同样求出i==maxLen，maxLen加一。还是通过一个例子来看。
input:[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]dp:[1], maxLen = 1dp:[1, 2], maxLen = 2dp:[1, 1], maxLen = 2dp:[-1, 1], maxLen = 2dp:[-1, 1, 1], maxLen = 3dp:[-1, 1, 1, 4], maxLen = 4dp:[-1, 0, 1, 4], maxLen = 4
看出不一样来了吧，主要是1的插入位置，不在是替换掉前面的1，而是在前面的1的后面放入新的1。
public int maxLengthCSub(int[] nums) {if(nums == null) {return 0;}int len = nums.length;if(len == 0 || len == 1) {return len;}int[] dp = new int[len];int maxLen = 0;for(int i = 0; i < len; i++) {int tmp = findIndex(dp, maxLen, nums[i]); // 无重复数字时的插入位置int tmp2 = findRIndex(dp, tmp, nums[i]); // 有重复数字时的插入位置tmp = tmp2 == -1 ? tmp:tmp2;dp[tmp] = nums[i];if(tmp == maxLen)maxLen++;}return maxLen;}// 同严格递增// 二分查找，找到target在nums[0:len-1]的插入位置public int findIndex(int[] nums, int len, int target){if(len == 0)return 0;int low = 0;int high = len;if(target <= nums[low])return 0;if(target > nums[len-1])return len;while(low < high){int middle = low + (high-low)/2;if(target > nums[middle]) // 右边low = middle + 1;else high = middle;}return low;}// 返回-1时，正常使用二分查找即可public int findRIndex(int[] nums, int low, int tar) {if(low >= nums.length || low < 0)return -1;if(nums[low] != tar) {// 说明没有重复值return -1;}int high = low + 1;while(high < nums.length && nums[high] == nums[low]) {high++;}return high;}
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