药物中毒急救
1. 问题重述
2. 模型假设
1.胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量成正比，且（𝛾 > 0），总剂量𝑘的药物在𝑡 = 0瞬间进入胃肠道。
2.血液系统中药物排除率与药量𝑦(𝑡)成正比，比例系数𝜇（𝜇 > 0），假设𝑡 = 0时血液中无药物。
3.氨茶碱被吸收的半衰期为5ℎ，排除的半衰期为6ℎ。
4.孩子的血液总量为2000𝑚𝐿。
3.符号说明
4.模型建立与解决
根据假设对胃肠道中药量𝑥(𝑡)和血液系统中药量𝑦(𝑡)建立如下模型：
由假设1，𝑥(0) = 1100，随着药物从胃肠道向血液系统的转移，𝑥(𝑡)下降的速度与𝑥(𝑡)本身成正比，比例系数(𝛾 > 0)，所以𝑥(𝑡)满足微分方程
由假设 2，𝑦(0) = 0，药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，𝑦(𝑡)由于吸收作用而增长的速度是入𝑥，由于排除而减少的速度与𝑦(𝑡)本身成正比，比例系数(𝜇 > 0)，所以𝑦(𝑡)满足微分方程
方程(1)，(2)中的参数𝛾和𝜇可由假设3中的半衰期确定。模型求解 微分方程(1)是可分离变量方程，容易得到
表明胃肠道中的药量𝑥(𝑡)随时间单调减少并趋于0。为了确定𝛾，利用药物吸收的半衰期为5ℎ，即𝑥(5) = 𝑘𝑒−5𝛾=𝑥(0)/2=𝑘/2，得到𝛾 =𝑙𝑛2/5= 0.1386(1/ℎ)。将(3)代入方程(2)，得到一阶线性微分方程，求解得
该公式表明血液系统中的药量𝑦(𝑡)随时间先增后减并趋于0。
为了根据药物排除的半衰期为6ℎ来确定𝜇，考虑血液系统只对药物进行排
除的情况，这时𝑦(𝑡)满足方程𝑑𝑥/𝑑𝑡= −𝜇𝑦，若设在某时刻；有𝑦(𝜏) = 𝑎则𝑦(𝑡) =𝑎𝑒−𝜇(𝑡−𝜏),𝑡 ≥ 𝜏。利用𝑦(𝜏 + 6) = 𝑎/2，可得𝜇 = ( 𝑙𝑛 2)/6 = 0.1155( 1/ℎ)。将𝛾 = 0.1386和𝜇 = 0.1155代入(3)，(4)得
结果分析 用MATLAB软件对(5)，(6)作图得图一(𝑘 = 1100)时
根据假设4，孩子的血液总量为2000𝑚𝐿，出现严重中毒的血药浓度100𝑢𝑔/𝑚𝐿和致命的血药浓度200𝑢𝑔/𝑚𝐿分别相当于血液中药量𝑦达到200 𝑚𝑔和400𝑚𝑔。由图1看出，药量𝑦在约2ℎ达到200𝑚𝑔，即孩子到达医院时已经出现严重中毒。
利用这个模型可以确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量即当𝑑𝑦/𝑑𝑡= 0，得到此时的𝑡值能够使得𝑦(𝑡)最大，代入𝑡𝑚𝑎𝑥，当𝑦(𝑡𝑚𝑎𝑥) =200，𝑦(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 400时，能够得到最小的剂量𝑘𝑚𝑖𝑛可以求解得到，即孩子对应的最小剂量为495𝑚𝑔和990𝑚𝑔。当然，成人的剂量翻倍。如果采用体外血液透析的办法，药物排除率可增加到𝜇 = 0.1155 × 6 =0.693，血液中药量下降更快，用这个𝜇重新求解(7)并作图二如下
模型分析
至于临床上究竟是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征
求病人和家属意见后确定。但是通过图二却可以看出，虽然采用了血液透析的
方法来加快药物排除率，血液中药量仍有一段时间在上升，同时血液透析条件
限制较大，不能立即给误服药物的病人进行抢救。
代码：
Matlab:
syms x tk=1100;h(t)=exp(-0.1386*t);f(t)=6*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t));grid on;fplot(f,[0,25]);hold on;fplot(h,[0,25]);xlabel('t/h');ylabel('x,y/mg');f(t)=-(exp(-0.693*t)-exp(-0.1386*t))/4;fplot(f,[0,25]);legend('血液系统中的药量y','胃肠道中的药量x','使用透析后血液系统中的药量y');% df=diff(f,t);% ans=solve(df==0,t);% f(ans)% disp("Maxmize time is");% disp(vpa(-(10000*log(5/6))/231));
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