Jordan标准型的由来?为何n阶数字方阵都必有对应的Jordan标准型?怎么求可逆矩阵P?

设A为复数域上的n阶方阵，即A∈Cn×n，A为：

A的特征矩阵λⅠ-A为：

设矩阵λⅠ-A的smith标准型为：

其中d1(λ)、d2(λ)、…、dn(λ)为λⅠ-A的不变因子，则λⅠ-A≌D，D为λⅠ-A的smith标准型。对于矩阵D，有∂(d1(λ))+∂(d2(λ))+…+∂(dn(λ))=n。假设λⅠ-A的smith标准型，即矩阵D的形式为：

矩阵D=矩阵S，对于n阶方阵S，左上角为n-p阶单位矩阵，hi(λ)的次数ni均大于0，即∂(hi(λ))=ni>0，其中i=1,2,…,p，∂(h1(λ))+∂(h2(λ))+…+∂(hp(λ))=n1+n2+…+np=n。

矩阵S的左上角有n-p个1，有下式：

矩阵S通过初等变换可变为：

T为n阶方阵，S≌T，其中Ti为：

Ti为ni阶方阵，还是写一遍完整的矩阵T吧，如下：

上图中的①省略了Ti，其中i=3,4,…,p-1。对于每一个Ti中的hi(λ)进行质因式分解得：

上式的λi互不相同，其中i=1,2,…,k，r1+r2+…+rk=ni。对于ni阶方阵Ti：

设hi(λ)=(λ-λ1)r1·(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ1)r1·g(λ)，即g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk，有(λ-λ1)r1和g(λ)互质。

对于ni阶方阵Ti，行列式因子为：

（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ni-1；

（2）Dni(λ)=hi(λ)。

设ni阶方阵Bi为：

有Bi≌Ti，因为Bi的行列式因子为：

（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ni-2；

（2）Dni(λ)=hi(λ)；

（3）对于ni-1阶行列式因子，有：ni-1阶子式中不为0的有g(λ)、(λ-λ1)r1、hi(λ)，其中hi(λ)有ni-2个，这三个多项式中前两个互质，因此最大公因式为1，即Dni-1(λ)=1。

Bi与Ti的各k阶行列式因子相同，其中k=1,2,…,ni，因此Bi≌Ti。

对于g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk，分解为g(λ)=(λ-λ2)r2·…·(λ-λk)rk=(λ-λ2)r2·g1(λ)，其中g1(λ)=(λ-λ3)r3·…·(λ-λk)rk，对于矩阵：

可证Ti与上述矩阵等价，一直分解g1(λ)下去，最后得到矩阵：

可证Ti与上述矩阵等价。因此：

记上图右面的矩阵为J(λ)，其矩阵表示的左上方的第一块矩阵已给出，右下角即①部分省略了很多分块矩阵，其形式与左上角相同，有T≌J(λ)。

现在先总结一下以上内容得到的矩阵关系：λⅠ-A≌D，矩阵D=矩阵S，S≌T，T≌J(λ)，因此根据矩阵等价的传递性， 有：

λⅠ-A≌J(λ)

可对矩阵J(λ)进行分块为：

其中i=1,2,…,q，Ji(λ)∈Cri×ri[λ]，ri阶方阵Ji(λ)为：

上式中(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子，i=1,2,…,q，其中可能有重复项。接下来要做的是寻找一个n阶数字方阵J，使其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)，其中J为：

对于矩阵Ji，有λⅠ-Ji≌Ji(λ)，其中ri阶方阵Ji(λ)为：

对于ri阶方阵Ji(λ)，其行列式因子为：

（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ri-1；

（2）Dri(λ)=(λ-λi)ri。

于是需要矩阵λⅠ-Ji与Ji(λ)有相同的行列式因子。当λⅠ-Ji的主对角线元素均为λ-λi时，可以保证ri阶行列式因子为(λ-λi)ri。然后就是需要使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式因子均为1了。当主对角线上方的次对角线均为1时，可以使1阶、2阶、…、ri-1阶行列式均为1。于是有：

因此Ji为：

但是主对角线上方的次对角线均为-1不好看，可以令Ji为：

Ji的行列式因子也为：

（1）Dk(λ)=1，其中k=1,2,…,ri-1；

（2）Dri(λ)=(λ-λi)ri。

此时λⅠ-Ji为：

即主对角线上方的次对角线均为-1。称Ji为Jordan块：

J为：

称J为Jordan标准型。

下面到了总结的时候了。

A为复数域上的n阶方阵，即A∈Cn×n，其特征矩阵λⅠ-A≌J(λ)；对于n阶数字方阵J，其特征矩阵λⅠ-J=J(λ)。因此：λⅠ-A≌λⅠ-J，因此A～J，即二者相似。那么一定存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=J。

下面就求n阶方阵P。

由P-1AP=J得AP=PJ，其中J为：

其中ri阶方阵Ji为：

将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq]，其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri]，i=1,2,…,q，有：AP=A·[P1,P2,…,Pq]=[P1,P2,…,Pq]·diag(J1,J2,…,Jq)=PJ，则APi=PiJi，i=1,2,…,q，即APi=A·[pi1,pi2,…,piri]=[pi1,pi2,…,piri]·Ji=PiJi，即：

根据矩阵的乘法，可得：

（1）Api1=λi·pi1；

（2）Api2=pi1+λi·pi2；

（3）Api3=pi2+λi·pi3；

（4）…

（5）Apiri=piri-1+λi·piri。

其中i=2,…,q，所以有：

（1）(A-λiⅠ)pi1=0；

（2）(A-λiⅠ)pi2=pi1；

（3）(A-λiⅠ)pi3=pi2；

（4）…

（5）(A-λiⅠ)piri=piri-1。

其中i=2,…,q。于是P是这样求解的：

1、对矩阵A求其特征矩阵λⅠ-A的不变因子，有两种方法：① 通过求各阶行列式因子，然后得到不变因子；② 对λⅠ-A做初等变换求出其smith标准型，则对角线上的元素即为不变因子；

2、根据求出的不变因子得出λⅠ-A的初等因子，假设(λ-λi)ri是λⅠ-A的初等因子，其中i=1,2,…,q，其中可能有重复项；

3、每一个(λ-λi)ri对应一个若当块Ji，其中i=1,2,…,q，ri阶方阵Ji为：

4、矩阵A的若当标准型J为：

5、一定存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=J。将n阶可逆方阵P分块为P=[P1,P2,…,Pq]，其中n×ri阶矩阵Pi=[pi1,pi2,…,piri]，i=1,2,…,q，对于每一个Ji，这样求Pi：

（1）(A-λiⅠ)pi1=0；

（2）(A-λiⅠ)pi2=pi1；

（3）(A-λiⅠ)pi3=pi2；

（4）…

（5）(A-λiⅠ)piri=piri-1。

在第5步求解过程中，pi1的选取要保证pi2可以求出，类似地pi2的选取（因为pi2的选定并不唯一，只要适当选取一个即可）也要保证pi3可以求出，如此等等。

6、最后P=[P1,P2,…,Pq]。

求解可逆方阵P结束，现在得到的n阶可逆矩阵P，可使得P-1AP=J，其中J为n阶数字方阵A的Jordan标准型。

任何一个n阶数字矩阵都对应一个Jordan标准型。

Jordan标准型的应用之一就是求矩阵A的方幂，如Ak。

因为P-1AP=J，所以A=PJP-1有Ak=PJkP-1，其中Jk为：

ri阶方阵Ji为：

则Jik为：

END

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