奇异矩阵 非奇异矩阵 伪逆矩阵

奇异矩阵就是Singular Matrix 的中文翻译。

Singular 就是唯一的，可以想成是单身狗，所以他没有对象 逆矩阵。

Non-singular的非奇异矩阵就是Couple 有逆矩阵。

奇异矩阵

奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。

奇异矩阵的判断方法：首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由∣A∣≠0|A|≠0∣A∣​=0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果A为奇异矩阵，则AX=0AX=0AX=0有无穷解，AX=bAX=bAX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0AX=0AX=0有且只有唯一零解，AX=bAX=bAX=b有唯一解。

如果A(n×m)A(n×m)A(n×m)为奇异矩阵（singular matrix）<=> A的秩Rank(A)<n.

如果A(n×m)A(n×m)A(n×m)为非奇异矩阵（nonsingular matrix）<=> A满秩，Rank(A)=n.

非奇异矩阵：

若n阶矩阵A的行列式不为零，即 ∣A∣≠0|A|≠0∣A∣​=0，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵，否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。

若n阶矩阵A的行列式不为零，即 ∣A∣≠0|A|≠0∣A∣​=0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。

判定方法

n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵，也即A的行列式不为零。 即矩阵（方阵）A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵 B 使 AB=BA=EAB = BA =EAB=BA=E（ E是单位矩阵），则称 A 是可逆的，也称 A 为非奇异矩阵，此时A和B互为逆矩阵。

一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n

AX=bAX=bAX=b 有唯一解

AX=0AX=0AX=0 有且仅有零解

A可逆

如果n 阶方阵A奇异，则一定存在一个n*1阶非零向量X使： X′AX=0X'AX=0X′AX=0；成立

注意：若A为非奇异矩阵，其顺序主子阵Ai（i=1,...,n−1）A_i（i=1,...,n-1）Ai​（i=1,...,n−1）不一定均非奇异

方阵A可逆的充要条件是

在线性代数中，给定一个 n 阶方阵 A，若存在一 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=InAB = BA = I_nAB=BA=In​，其中 InI_nIn​ 为 n 阶单位矩阵，则称 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆阵，记作 A 。 若方阵 A 的逆阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。 给定一个 n 阶方阵 A，则下面的叙述都是等价的： A 是可逆的、A 的行列式不为零、A 的秩等于 n（A 满秩）、A 的转置矩阵 A也是可逆的、AA 也是可逆的、存在一 n 阶方阵 B 使得 AB=InAB = I_nAB=In​、存在一 n 阶方阵 B 使得 BA=InBA = I_nBA=In​。 A是可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0︱A︱≠0︱A︱​=0（方阵A的行列式不等于0）。

n方阵可逆的条件有以下几种判断，满足其中一项即可

1，R（A）=nR（A）=nR（A）=n

2，存在n阶方阵B使得AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E

3，A经有限次的初等变换可化为EnEnEn

4，Ax=0Ax=0Ax=0，有唯一解。

伪逆矩阵

对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I，其中III为与A,B同维数的单位阵，就称A为可逆矩阵（或者称A可逆），并称B是A的逆矩阵，简称逆阵。（此时的逆称为凯利逆）

矩阵A可逆的充分必要条件是∣A∣≠0|A|≠0∣A∣​=0。

奇异矩阵阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但可以用函数pinv(A)pinv(A)pinv(A)求其伪逆矩阵。

基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol)X=pinv(A),X=pinv(A,tol)X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中toltoltol为误差：max(size(A))∗norm(A)∗epsmax(size(A))*norm(A)*epsmax(size(A))∗norm(A)∗eps。函数返回一个与A的转置矩阵A’ 同型的矩阵X，并且满足：AXA=A,XAX=XAXA=A,XAX=XAXA=A,XAX=X.此时，称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。

pinv(A)pinv(A)pinv(A)具有inv(A)inv(A)inv(A)的部分特性，但不与inv(A)inv(A)inv(A)完全等同。

如果A为非奇异方阵，pinv(A)=inv(A)pinv(A)=inv(A)pinv(A)=inv(A)，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，inv(A)inv(A)inv(A)花费更少的时间。

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