高中数学分组分配问题,什么情况下要除以一个全排列?
平均分组,一定要除以组数的全排列.
分组不同于排列,因为排列要顺序,而分组,组与组之间是没有顺序的.
例如：把1,2,3,4,5,6分为三组每组两个,可能是(1,2)(3,4)(5,6)也可能是(1,2)(5,6)(3,4)或者
(5,6)(1,2)(3,4)和(5,6)(3,4)(1,2)和(3,4)(1,2)(5,6)
和(3,4)(5,6)(1,2).一共有A(3,3)种不同的组别,但这些组都是一样的,所以得除以A(3,3)[就是组数的全排列].
又例如：
6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法
1.分给甲乙丙三人,每人2本；
2.分为三堆,每堆2本.
先给甲：六本选两本,选法为：
6*5除以2=15
再给乙：四选二,选法为：
4*3除以2=6
剩下就是丙的了,选法为：C(2,2)=1
所以分给甲乙丙三人,每人2本；不同的选法为：15*6=90
即不同的选法为：
C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=15*6*1=90；
2.
因为每次挑2本作为一堆,实际上是考虑了顺序的,会有重复,重复数为堆数的全排列A(3,3),
故需把分好的三堆的选法数[C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)],除以堆数的全排列A(3,3),
得不同的选法为：
[C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)]/A(3,3)=15.
问题关键在于理解排列与组合的区别：组合是无序的,排列是有序的.
分成3堆的话3个元素进行有序组合,相同的3个元素一共有3的阶乘种排列方法,而题2.分为三堆,每堆2本.要求的是无序的组合,所以除以3的阶乘.
就是排列组合学上所说的消序,也可以理解成消去重复元素的意思,
比如12 ,21是两种排列,却是一种组合,平均分组需消去重复元素,即组合只有一个,需除以二的阶乘,原理是一样的.
当然
题1.分给甲乙丙三人,每人2本.
也可这样
先分成三堆,每堆2本.
不同的分法为：
[C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)]/A(3,3)=15.
再把三堆分给甲乙丙三人,
不同的分法为：
A(3,3)=6.
由乘法原理得,分给甲乙丙三人,每人2本的分法为：
15*6=90.
追问：
太感谢了。
作业帮用户
-09-28
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