1. 贝叶斯网络和因果图
在统计模型中，联合分布的计算公式为：
P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P ( x 1 ) ∏ i = 2 n P ( x i ∣ x i − 1 , . . . , x 1 ) P(x_1,x_2,...,x_n)=P(x_1)\prod_{i=2}^{n}{P(x_i|x_{i-1},...,x_1)} P(x1,x2,...,xn)=P(x1)∏i=2nP(xi∣xi−1,...,x1)
以上计算也称链式规则。
而根据马尔可夫假设：在一个有向无环图（DAG，Directed Acyclic Graph）中，给定节点X的所有父节点，节点X独立于其所有的非子代节点。可以将以上公式简写为：
P ( x ) = ∏ i ∈ I P ( x i ∣ x p a ( i ) ) P(x)=\prod_{i\in{I}}{P(x_i|x_{pa(i)})} P(x)=∏i∈IP(xi∣xpa(i))，其中 x p a ( i ) x_{pa(i)} xpa(i)代表 x x x的所有父节点，这个公式也称为贝叶斯网络因式分解。
例如，如果有如下图：
根据链式规则，联合概率分布计算为
P ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = P ( x 1 ) P ( x 2 ∣ x 1 ) P ( x 3 ∣ x 2 , x 1 ) P ( x 4 ∣ x 3 , x 2 , x 1 ) P(x_1,x_2,x_3,x_4)=P(x_1)P(x_2|x_1)P(x_3|x_2,x_1)P(x_4|x_3,x_2,x_1) P(x1,x2,x3,x4)=P(x1)P(x2∣x1)P(x3∣x2,x1)P(x4∣x3,x2,x1)，
接入马尔科夫假设后，图中X4节点在给定其父节点X3的情况下，独立于所有的非子结点，即独立于X1和X2，所以上述计算可简化为：
P ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = P ( x 1 ) P ( x 2 ∣ x 1 ) P ( x 3 ∣ x 2 , x 1 ) P ( x 4 ∣ x 3 ) P(x_1,x_2,x_3,x_4)=P(x_1)P(x_2|x_1)P(x_3|x_2,x_1)P(x_4|x_3) P(x1,x2,x3,x4)=P(x1)P(x2∣x1)P(x3∣x2,x1)P(x4∣x3)，
此外，最小假设（minimality assumption）在马尔科夫假设的基础上补充了一条内容，其内容包括：
（1）在一个DAG中，给定节点X的所有父节点，节点X独立于其所有的非子代节点。
（2）DAG图中相邻节点是相互依赖的。
最小假设在马尔可夫假设的基础上补充了节点之间的依赖关系。
以上模型探讨的都是不涉及因果关系的统计模型，因果边假设（causal edges assumption）将因果关系加入到DAG中。
因果边假设：在有向图中，每个父节点是其所有子节点的直接原因。
至此，可以得到以下流程图：
【补充】原因（causal）的定义：A variable X is said to be a causal of a variable Y is Y can change in response to changes in X.
2. 图的基本结构块
在图结构中，有三种基本结构块，分别是：chain（也叫headd to tail），fork（也叫tail to tail），immorality（也叫head to head）。
在关系图中，有一个重要的概念就是阻塞路径（blocked path），下面结合图的三种基本结构解释阻塞路径的概念。
（1）chain
链式图中，X1和X2之间存在一条路径，意味着他们之间是有依赖关系的，但是如果以X2为条件的话，他们之间的路径就会被阻塞，X1和X2就会变成相互独立的两个节点。证明如上图，我们得到了给定X2时，X1和X3的联合概率等于他们各自的概率相乘。
（2）fork
fork图与链式图一样，在给定X2的情况下，X1和X3相互独立。
（3）immorality
在immorality图中，X1和X3是相互独立的，而当给定X2(在这个图结构中X2被称为对撞机)时，X1和X3就不独立了。X1和X3的独立性证明如下图。
用一个例子说明给定X2时X1和X3不独立：
X 1 X_1 X1表示一个男人好看或是不好看， X 3 X_3 X3表示一个男人善良或是不善良， X 2 X_2 X2为 X 1 X_1 X1和 X 2 的 X_2的 X2的和，用来表示一个男人单身或者不单身。单看 X 1 X_1 X1和 X 3 X_3 X3，他们之间没有任何联系。但如果以X2为条件的话，情况就会不一样了。根据 X 2 X_2 X2，可以知道，目前好看且善良的男人都不单身，因此如果给定 X 2 = 0 X_2=0 X2=0即男人单身这一条件，男人的 X 1 X_1 X1和 X 2 X_2 X2属性就只存在三种情况：好看且不善良；不好看且善良；不好看且不善良。给定 X 2 = 0 X_2=0 X2=0时， X 1 X_1 X1和 X 3 X_3 X3就会产生联系，并且可以得到“好看的男人是渣男”这一关系。
总结以上三种情况，可以得到阻塞路径（boloked path）的定义：
如果满足以下任一条件，则节点X和Y之间的路径将被条件集Z（可能为空）阻塞：
（1） 在路径中，有chain …→W→… 或者叉子 …→W→… ，W在条件集中。
（2）在路径中存在对撞机W，且W和其任何子节点都不在条件集中。
3. 关联及因果关系的流动（The flow of association and causation）
如果觉得《因果推理（三）：关联和因果在因果图中的流动》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！
