证明
设 λ 1 , . . . , λ k \lambda_1, ..., \lambda_k λ1,...,λk 为方针 A n × n A^{n\times n} An×n的 k k k 个不同特征值，对应的特征向量分别为 x 1 , . . . , x k x_1, ..., x_k x1,...,xk。
假设 x 1 , . . . , x r ( r < k ) x_1, ..., x_r(r<k) x1,...,xr(r<k) 线性无关（如果有必要交换特征向量顺序），而 x 1 , . . . , x r , x r + 1 x_1, ..., x_r, x_{r+1} x1,...,xr,xr+1 线性相关，则存在不全为 0 0 0 的 c 1 , . . . , c r + 1 c_1, ..., c_{r+1} c1,...,cr+1 使得：
c 1 x 1 + . . . + c r x r + c r + 1 x r + 1 = 0 (1) c_1 x_1 + ... + c_r x_r + c_{r+1}x_{r+1} = 0 \tag{1} c1x1+...+crxr+cr+1xr+1=0(1)
且 c r + 1 c_{r+1} cr+1 不为 0 0 0，否则 x 1 , . . . , x r x_1, ..., x_r x1,...,xr 线性相关。
对(1) 式左右两边同时乘以 A A A 得
c 1 A x 1 + . . . + c r A x r + c r + 1 A x r + 1 = 0 (2) c_1 A x_1 + ... + c_r A x_r + c_{r+1} A x_{r+1} = 0 \tag{2} c1Ax1+...+crAxr+cr+1Axr+1=0(2)
也即
c 1 λ 1 x 1 + . . . + c r λ r x r + c r + 1 λ r + 1 x r + 1 = 0 (3) c_1 \lambda_1 x_1 + ... + c_r \lambda_r x_r + c_{r+1} \lambda_{r+1} x_{r+1} = 0 \tag{3} c1λ1x1+...+crλrxr+cr+1λr+1xr+1=0(3)
(1) 式乘以 λ r + 1 \lambda_{r+1} λr+1 与(3) 式子相减得
c 1 ( λ r + 1 − λ 1 ) x 1 + . . . + c r ( λ r + 1 − λ r ) x r = 0 (4) c_1 (\lambda_{r+1} - \lambda_1) x_1 + ... + c_r (\lambda_{r+1} - \lambda_r) x_r = 0 \tag{4} c1(λr+1−λ1)x1+...+cr(λr+1−λr)xr=0(4)
由于特征根不同， λ r + 1 − λ i ( i = 1 , . . . , r ) ≠ 0 \lambda_{r+1} - \lambda_i(i=1,...,r) \neq 0 λr+1−λi(i=1,...,r)=0，故(4) 式表明特征向量 x 1 , . . , x r x_1, .., x_r x1,..,xr 线性相关，与假设矛盾。因此， x 1 , . . . , x r , x r + 1 x_1, ..., x_r, x_{r+1} x1,...,xr,xr+1 线性无关。
证毕
分析
该证明利用反证法，有一定的技巧性，一是要把线性无关转化为方程只有零解的形式；二是要利用特征值、特征向量与原矩阵的关系。
此处证明不同特征值对应的特征向量线性无关，但是一个特征值对应的多个特征向量是否线性无关并没有证明。
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