定义 1设 V V V 是一个非空集合， R \R R 为实数域。如果在 V V V 中定义了一个加法，即对于任意两个元素 α , β ∈ V \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V α,β∈V，总有唯一的一个元素 γ ∈ V \boldsymbol{\gamma} \in V γ∈V 与之对应，称为 α \boldsymbol{\alpha} α 与 β \boldsymbol{\beta} β 的和，记作 γ = α + β \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} γ=α+β；在 V V V 中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数 λ ∈ R \lambda \in \R λ∈R 与任一元素 α ∈ V \boldsymbol{\alpha} \in V α∈V，总有唯一的一个元素 δ = λ α \boldsymbol{\delta} = \lambda \boldsymbol{\alpha} δ=λα，并且这两种运算满足以下八条运算规律（设 α , β , γ ∈ V \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} \in V α,β,γ∈V、 λ ∈ R \lambda \in \R λ∈R）：
α + β = β + α \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha} α+β=β+α；( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma}) (α+β)+γ=α+(β+γ)；在 V V V 中存在零元素 0 \boldsymbol{0} 0，对任何 α ∈ V \boldsymbol{\alpha} \in V α∈V，都有 α + 0 = α \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\alpha} α+0=α；对任何 α ∈ V \boldsymbol{\alpha} \in V α∈V，都有 α \boldsymbol{\alpha} α 的负元素 β ∈ V \boldsymbol{\beta} \in V β∈V，使 α + β = 0 \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{0} α+β=0；1 α = α 1 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} 1α=α；λ ( μ α ) = ( λ μ ) α \lambda (\mu \boldsymbol{\alpha}) = (\lambda \mu) \boldsymbol{\alpha} λ(μα)=(λμ)α；( λ + μ ) α = λ α + μ α (\lambda + \mu) \boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \mu \boldsymbol{\alpha} (λ+μ)α=λα+μα；λ ( α + β ) = λ α + λ β \lambda (\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = \lambda \boldsymbol{\alpha} + \lambda \boldsymbol{\beta} λ(α+β)=λα+λβ。
那么， V V V 就称为（实数域 R \R R 上的）向量空间（或线性空间）， V V V 中的元素无论其本来的性质如何，统称为（实）向量。
简言之，凡满足上述八条规律的加法及数乘运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间，其中的元素就称为向量。
向量空间的概念是集合与运算两者的结合。一般来说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成不同的向量空间；若定义的运算不是线性运算，就不能构成想来那个空间。
向量空间具有如下特征：
性质 1零向量是唯一的。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 2任一向量的负向量是唯一的， α \boldsymbol{\alpha} α 的负向量记作 − α - \boldsymbol{\alpha} −α。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 3 0 α = 0 0 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} 0α=0。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 4 ( − 1 ) α = − α (-1)\boldsymbol{\alpha} = - \boldsymbol{\alpha} (−1)α=−α。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 5 λ 0 = 0 \lambda \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} λ0=0。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
性质 6如果 λ α = 0 \lambda \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} λα=0，则 λ = 0 \lambda = 0 λ=0 或 α = 0 \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} α=0。
证明见 “【证明】线性空间的基本性质”。
有子空间的定义如下：
定义 2设 V V V 是一个线性空间， L L L 是 V V V 的一个非空子集，如果 L L L 对 V V V 中所有定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称 L L L 为 V V V 的子空间。
因为 L L L 是 V V V 的一部分， V V V 中的运算对于 L L L 而言，定义 1 中的规律 1、2、5、6、7、8 显然是满足的，因此只要 L L L 对运算封闭且满足定义 1 中的规律 3 和 4 即可。根据定义 1 的性质可知，若 L L L 对运算封闭，则即能满足规律 3 和 4。因此有
定理 1线性空间 V V V 的非空子集 L L L 构成子空间的充分必要条件是： L L L 对于 V V V 中的线性运算封闭。
证明根据定义 1 和定义 2 显然成立。
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