人在雨中行走的淋雨量讨论
摘要
本题讨论的问题是人在雨中沿直线跑一段路程，若雨速为常数且方向不变，是否跑得越快淋雨量越少，即在此情况下，建立表示淋雨量与跑步速度、雨速、降雨量、跑步距离等相关参数的函数关系的数学模型，进而进行淋雨量与跑步速度关系的分析。本题中降雨量指的是雨速方向与淋雨面垂直时，单位时间内在单位淋雨面聚积的雨水深度。为简化问题，将人体看做一个高 =1.5 (颈部以下)，宽 =0.5 ，厚 =0.2 的长方体，则淋雨量为除底面外长方体表面接收雨水的总体积。
问题一中，不考虑雨的方向，且假设降雨淋遍全身，人以最大速度 跑完全程 =1000 ，则淋雨面为除底面外的另五个面，且雨速分别与五个面垂直。此时得到淋雨量近似为0.0024 3。
问题二中，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，则淋雨面为头顶与前身面积之和。因雨速不与淋雨面垂直，将雨速分解为分别与头顶、前身垂直的竖直分量 1、水平分量 2，此时得到淋雨量与跑步速度等参数的函数关系为
+ = + 经计算，当 =5 / 时，W最小。当 =0时， =0.0012 3；当 =30时， =0.0016 3。
问题三中，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，则淋雨面为头顶与后背面积之和。因雨速不与淋雨面垂直，同样将雨速分解为分别与头顶、后背垂直的竖直分量 1、水平分量 2，此时得到淋雨量与跑步速 度等参数的函数关系为
=+ 经计算，当 =2 / 时，总淋雨量最少；当α=30。时,W=0.2405556 03m3。
问题四中，以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，利用MATLAB画出α分别为0°，10°，…90°的曲线图。
问题五中，雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则淋雨面为头顶与前后左右面积之和，同样将雨速分解为竖直分量 1、水平分量 2，设从上向下俯视时雨速与人速的夹角为 ，此时得到淋雨量与跑步速度等参数的函数关系为
v usin cos ddusin sin dW bcwcosθ+wab wac vuvuv
关键词：降雨量，淋雨面，雨速，向量分解，淋雨量
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