邻域内包含
X
中异于
𝑥
0
的
x
的值，则
𝑥
0
是数集
X
的聚点。关于“任一
邻域”
，
δ
=
1cm
算不算“任一
邻域”？不算。只能说它是
“任一
邻域”之一部分而不是全部；
δ
=
1mm
算不算“任一
邻域”？不算。只能说它是
“任一
邻域”之一部分而不是全部；
δ
=
1nm
算不算
“任一
邻域”
？不算。
只能说它是
“任一
邻域”
之一部分而不是全部；
„„
,
点
𝑥
0
的
邻域可以无穷小。因此，
“任一
邻域”是一个无穷集。
对
聚点
𝑥
0
本身来说，
可以属于
X
，
或不属于
X
。
也就是说
𝑥
0
在
X
上可以有定义或无定义。
𝑥
0
在
X
上无定义时，它的
邻域也存在，叫做空心领域。
(二)
注意函数
f(x)
在
x
接近于
𝑥
0
时的性态。
设在区域
X
内给定函数
f(x)
，且
𝑥
0
是
X
的聚点。这函数
f(x)
在
x
接近于
𝑥
0
时的性态是
值得注意的。相对于自变量
x,
通过法则
f,
得到
f(x)
，若出现了
f(x)
无限趋近于数
A
的性
态，
或者叫做
f(x)
与数
A
的差距无限小的性态，
则可类似于
𝑥
0
的
邻域
𝛿
，
把
ε
看作
A
的邻域，
而把这种性态更准确地表达为：
Ⅰ
f(x)-A
Ⅰ
<
ε
(
ε
是任一大于零的数
)
。这个表达就具备了可
进行量化比较性。
(三)
𝛿
与
ε
的关系
从
x
与
f(x)
的关系看，
前者为因，
后者为果。
但是从
𝑥
0
的
邻域
𝛿
与
A
的邻域
ε
的关系看，
则是前者依赖后者，总是要先给定任一
ε
>0
，而后求那个能保证
ε
成立的
𝛿
。即
𝛿
的几何空
间受
ε
的几何空间的约束。既然
f(x)
无限趋近于数
A
的性态，可更准确地表达为：
Ⅰ
f(x)-
A
Ⅰ
<
ε
(
ε
是任一大于零的数
)
，那么，使
Ⅰ
f(x)-
A
Ⅰ
<
ε
(
ε
是任一大于零的数
)
成立的
𝛿
应是什么
样呢？也就是如何依赖
Ⅰ
f(x)-A
Ⅰ
<
ε
求
𝛿
呢？具体过程如下：
将
Ⅰ
f(x)-A
Ⅰ变形：Ⅰ
f(x)-A
Ⅰ
=M
Ⅰ
x-
𝑥
0
Ⅰ
,
其中
M
是一个与
x
无关的常量。
再取
𝛿
=
ε
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