问题补充:
如图,Rt△ABC的斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E,
(1)求证:∠A=∠B.
(2)求图中阴影部分的面积.
答案:
解:(1)证明:连接OD、OE,
∵AC、BC分别为圆O的切线,
∴∠ADO=∠BEO=90°,
∵O为AB的中点,
∴AO=BO,
在Rt△AOD和Rt△BOE中,
,
∴Rt△AOD≌Rt△BOE(HL),
∴∠A=∠B;
(2)∵Rt△AOD≌Rt△BOE,∠C=90°,
∴∠A=∠B=45°,
∴△ADO与△BEO都为等腰直角三角形,
∴∠DOA=∠EOB=45°,
∵AO=BO=2,
根据勾股定理得:OD=,
则S阴=2(S△AOD-S扇形)=2×[×2-]=2-.
解析分析:(1)由AC与BC都为圆O的切线,利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOE为直角三角形,由OD=OE,且AO=BO,利用HL得到两直角三角形全等,利用全等三角形的对应角相等即可得证;
(2)由(1)∠A=∠B,得到三角形ABC为等腰直角三角形,进而确定出三角形AOD与三角形BOE都为等腰直角三角形,由斜边OA的长求出OD的长,且得出扇形圆心角的度数,阴影部分的面积为2(三角形AOD面积-扇形面积),求出即可.
点评:此题考查了切线的性质,直角三角形全等判定方法-HL,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,以及扇形面积求法,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
如图 Rt△ABC的斜边AB=4 O是AB的中点 以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D E (1)求证:∠A=∠B.(2)求图中阴影部分的面积.
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