问题补充:
在△ABC中,已知BC=a,CA=b,AB=c,s=,内切圆I和BC,CA,AB分别相切于点D,E,F.求证:
(1)AF=s-a;
(2)S△ABC=s(s-a).
答案:
证明:(1)设AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,
得方程组;
解得x=s-a,
所以AF=s-a;
(2)设内切圆I的半径为r,连IA,IB,IC,ID,IE,IF,
则∠AFI=90°,∠IAF=;
r=AF?=(s-a)
∵S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△CAI
=rc+ra+rb
=r(a+b+c)
=sr;
∴S△ABC=s(s-a).
解析分析:(1)由切线长定理知:AE=AF、BF=BD、CD=CE,则AF=(AB+AC-BC),再将s的式子代入上式即可证得本题所求的结论;
(2)可连接IA、IB、IC,IF、IE、ID;在Rt△AFI中,易求得⊙I的半径为AF?tan,即(s-a)?tan;将△ABC分为△AIB、△AIC、△BIC三部分,分别用三角形ABC的三边长即⊙I的半径表示出它们的面积,进而由S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△CAI得出所要证的结论.
点评:此题主要考查了三角形内切圆的性质及切线长定理、三角形面积的求法等知识.
在△ABC中 已知BC=a CA=b AB=c s= 内切圆I和BC CA AB分别相切于点D E F.求证:(1)AF=s-a;(2)S△ABC=s(s-a).
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