问题补充:
正三角形ABC,AB=2,点D、E分别在AC,BC上且DE∥AB、DE=.将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′(如图D′,E′分别与点D,E对应),E′正好在AB上,D′E′与AC相交于点M.
(1)则∠AC?E′=______;
(2)求证:四边形ABC?D′是梯形;
(3)求△AD′M的面积.
答案:
(1)解:∵等边△ABC的边长AB=2,
∴高线=2×=,
∵△CDE旋转后点E的对应点E′正好在AB上,
∴CE′是△ABC的高,
∴∠ACE′=∠ABC=×60°=30°;
(2)证明:∵DE∥AB,
∴△CDE也是等边三角形,
∵△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′,
∴∠ACD′=60°-30°=30°,
∴∠ACE′=∠ACD′,
∴AC是D′E′的垂直平分线,
∴∠CAD′=CAE′=60°,
∴∠CAD′=∠ACB,
∴AD′∥BC,
由图可知,AB与CD′不平行,
∴四边形ABC?D′是梯形;
(3)解:∵∠ACD′=30°,∠CD′E′=60°,
∴∠CMD′=80°-30°-60°=90°,
∵DE=,
∴CM=×=,D′M=D′E′=,
又∵AC=2,
∴AM=2-=,
∴△AD′M的面积=AM?D′M=××=.
解析分析:(1)根据等边三角形的性质求出DE等于△ABC的高,从而得到CE′是△ABC的高,再根据等腰三角形三线合一的性质解答;
(2)先求出△CDE是等边三角形,再根据等边三角形的性质求出∠ACE′=∠ACD′,然后判断出AC是D′E′的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质求出∠CAD′=CAE′=60°,然后求出∠CAD′=∠ACB,再根据内错角相等,两直线平行判断出AD′∥BC,然后根据梯形的定义证明即可;
(3)先求出∠CMD′=90°,再根据等边三角形的性质求出CM、MD′的长,再根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解.
点评:本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,梯形的判定,以及三角形的面积的求解,熟练掌握等边三角形的性质,高线与边长的关系是解题的关键.
正三角形ABC AB=2 点D E分别在AC BC上且DE∥AB DE=.将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′(如图D′ E′分别与点D E对应) E′正好在A
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