问题补充:
如图1,已知Rt△ABC中,AB=BC,AC=2,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE上点B在DF上.
(1)求重叠部分△BCD的面积;
(2)如图2,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度,DE交BC于点M,DF交AB于点N,①请说明DM=DN;②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗?若发生变化,请求出重叠部分的面积,若不发生变化,请说明理由;
(3)如图3,将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度(0<α<90),DE交BC于点M,DF交AB于点N,则DM=DN的结论仍成立吗?重叠部分△DMN的面积会变吗?(请直接写出结论不需说明理由)
答案:
解:(1)∵AB=BC,AC=2,
∴CD=AD=1,
则△BCD的面积是×CD?BD=×1×1=;
(2)作DQ⊥BC,DP⊥AB分别于点Q,P,
又∵AB=BC,CD=AD,
∴∠A=∠C,
∴△CDQ≌△ADP,
∴DQ=DP,
则四边形BQDP是正方形.
∵∠EDQ+∠QDN=∠NDP+∠QDN
∴∠EDQ=∠NDP
又∵∠MQD=∠NPD
∴△MDQ≌△NDP,
∴DM=DN,
∴直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度,
此条件下重叠部分的面积等于正方形BQDP的面积是DQ2=12=1.
(3)DM=DN的结论仍成立,面积不会变.
解析分析:(1)重叠部分△BCD是一个等腰直角三角形,求出其直角边,即可求解;
(2)作DQ⊥BC,DN⊥AB分别于点Q,P,证明△MDQ≌△NDP即可求得;
(3)根据(2)中的结论,可以直接写出.
点评:正确理解题目中叙述的旋转过程,正确作出题目中的两条辅助线是解决本题的关键.
如图1 已知Rt△ABC中 AB=BC AC=2 把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE 长直角边为DF) 点C在DE
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