问题补充:
△ABC中,AB=AC,D、E分别是边AC、BC上的一点,AE、BD交于点F,连接DE,且∠BAC=∠AFD=α,
(1)如图1,若α=90°,线段AD、AC具有怎样的数量关系时,∠ADB=∠CDE;
(2)如图2,若α=60°,线段AD、AC具有怎样的数量关系时,∠ADB=∠CDE;
答案:
证明:(1)过点C作AC垂线交AE延长线于G,
则∠ACG=90°,
∵∠BAC=∠AFD=90°,
∴∠ABD+∠BAF=90°,∠BAF+∠CAG=90°,
∴∠ABD=∠CAG,
在△ABD和△CAG中,
,
∴△ABD≌△CAG(ASA),
∴AD=CG,∠ADB=∠G,
当∠ADB=∠CDE时,
则∠CDE=∠G,
∵∠ACG=∠BAC=90°,
∴AB∥CG,
∴∠GCE=∠ABC=∠DCE=45°,
在△CDE和△CGE中,
,
∴△CDE≌△CGE(AAS),
∴CG=CD=AD,
∴AD=AC,
∴当AD=AC时,∠ADB=∠CDE;
(2)∵∠AFD=∠BAC=60°,
又∵∠AFD=∠ABD+∠BAE=60°,∠BAE+∠EAC=60°,
∴∠ABD=∠EAC,
∵AB=AC,
∴∠C=∠BAC=60°,
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(ASA),
∴AD=CE,∠ADB=∠AEC,
当∠ADB=∠CDE时,
则∠AEC=∠CDE,
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CEA,
∴,
∴CE2=CD?CA,
∴AD2=(AC-AD)?AC,
即AD2+AD?AC-AC2=0,
∴(不合题意,舍去),
∴当时,∠ADB=∠CDE.
解析分析:(1)首先过点C作AC垂线交AE延长线于G,由∠BAC=∠AFD=90°,易证得△ABD≌△CAG,继而可证得△CDE≌△CGE,则可得CG=CD=AD,即可得当AD=AC时,∠ADB=∠CDE;
(2)由∠BAC=∠AFD=60°,可得△ABC是等边三角形,易证得△ABD≌△CAE(ASA),继而可得△CDE∽△CEA,然后由相似三角形的对应边成比例,求得结论.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
△ABC中 AB=AC D E分别是边AC BC上的一点 AE BD交于点F 连接DE 且∠BAC=∠AFD=α (1)如图1 若α=90° 线段AD AC具有怎样的
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