问题补充:
解答题直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=2,E,F分别是BC、AA1的中点.
求:(1)异面直线EF和A1B所成的角.
(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
答案:
解:(1)方法一:取AB的中点D,连DE、DF,则DF∥A1B,
∴∠DFE(或其补角)即为所求.…(3分)
由题意易知,,DE=1,
由DE⊥AB、DE⊥A?A1得DE⊥平面ABB1A1
∴DE⊥DF,即△EDF为直角三角形,…(3分)
∴
∴∠DFE=30°…(3分)
即异面直线EF和A1B所成的角为300.????…(1分)
方法二:
以A为坐标原点以AB、AC、AA1所在直线分别x轴、y轴、
Z轴建立如图所示的直角坐标系,…(1分)
则A1?(o,o,2)??B?(2,0,0)
∵E、F分别是BC、AA1中点
∴E(1,1,0)F(0,0,)??????????…(4分)
∴,
设的夹角为θ
∴cosθ=
∵0≤θ≤π
∴…(4分)
∴异面直线EF和A1B所成的角为…(1分)
(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积
…(4分)解析分析:(1)方法一:取AB的中点D,连DE、DF,则DF∥A1B,∠DFE(或其补角)即为所求由此能求出异面直线EF和A1B所成的角的大小.方法二:以A为坐标原点以AB、AC、AA1所在直线分别x轴、y轴、Z轴建立直角坐标系,用向量法求异面直线EF和A1B所成的角的大小.(2)直三棱柱ABC-A1B1C1的体积.点评:本题考查两条异面直线所成角的大小的求法和直直三棱柱ABC-A1B1C1的体积的计算,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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