这篇文章面向的对象是高中生,将会讲解什么是洛必达法则。
以及在最后,会讲在高考题中怎么绕开洛必达法则。
现在在群里,高中生们问得最多的问题就是“洛必达怎么用?”、“能不能用洛必达?”。
这篇文章就要解决这个问题。
一、洛必达(L'Hopital)法则
这里就不涉及到严格的极限的定义,因为高中数学的课本中没有讲到极限的定义。
先来讲一个简单的概念:不定式。
设我们有两个函数
和
,若当
时,有
,则称分式
为
型不定式;
同样地,若当
时, 有
并且
(这里的无穷大可正可负)则称分式
为
型不定式。
上面便是洛必达法则使用的前提条件,只有在满足条件时才能“洛”。
洛必达法则的内容如下,分为
型不定式和
型不定式。
定理1(
型不定式)若当
时,
为
型不定式,
和
存在,且
不是不定式,则
;
定理2(
型不定式) 若当
时,
为
型不定式,
和
存在,且
不是不定式,则
。
要解释这个定理,只需要用到导数的定义。
(需要注意的是,在这里我用的字眼是“解释”而不是“证明”,希望大家不要有着“证明就可以用”的念头。)
先考虑定理1,根据导数的定义,
。
则
,其中
,又根据
,代入后即可得到
,即为所求结果。
再考虑定理2,当
时,若
,则
,记
,
,则
是
型不定式,对其应用定理1得:
,另一方面有
,由此解得
,也即
。
至此,便可以(不严谨地)说明上面的结论成立。
二、洛必达法则的小应用
举几个简单的小例子,来说明一下在高中的题目里,洛必达法则怎么用。
例1画出函数
的图像。
解答求导得
,因此
在
递减,在
递增。
计算得
,
,接下来只需分析当
时
的取值。
,此时发现
和
都趋于无穷大,使用洛必达法则得:
,因此
。
例2当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围。
解答分离参数得
,令
,其中
。
,令
,
,因此
在
单调递增,
,因此
,
在
单调递增。
要求
恒成立,因此
,但当
时,
,此即为
型不定式。根据洛必达法则,有:
,因此
,实数
的取值范围是
。
例3当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围。
解答
,又
,因此
。
当
时,
,实数
的取值范围是
。
甚至洛必达可以“洛”很多次,只要是不定式就可以“洛”,直到得到结果。
例4求极限
。
解答当
时,
,使用洛必达法则得:
,此时依旧得到的是不定式。
当
时,
,再次使用洛必达法则得:
,因此
。
三、洛必达能不能用?如何绕开洛必达法则?
其实我反复强调的是,高中数学没有极限的定义,上面的过程是不严谨的。
不同的省份改卷标准不一样,有的地方可能会给分,有的地方可能会酌情扣分,而有的地方甚至会一分都不给。
洛必达法则本来是个高等数学中非常有用的结论,但“洛必达”最后变成了一些高中生装逼用的词,遇到题目就“洛”,以为可以秒杀,但完全没有顾及到严谨性。
除此之外,许多高中生在不是不定式的情况下胡乱“洛”,最后得到一个完全错误的答案。结果这些人就开始到处问“为什么这题不能洛必达?”、“洛必达是不是错的?”。
事实上,在做题的过程中,完全可以绕开洛必达法则,达到相同的效果。
一般地说,在遇到恒成立问题时,将不等式进行分离后可以得到形如
的形式,其中
的临界值是
,且
。那么很多人就会用洛必达法则,来求出
在
处的极限
。但这样做有必要吗?
若
,则
,令
,则原不等式等价于
。我们尝试分析构造出来的这个函数。
当
时,
,一般地,要令我们只要让
在
以前单调递减,在
之后单调递增就行了。
也即
是
的极小值点,令
,可解得
,这个就和我们用洛必达法则得到的结果一样。
但如果
怎么办呢?可以再求一次导,再令
,由此解得
,就和多次应用洛必达法则一样。
由此看来,“洛必达法则”完全没有必要出现在题目里,要使用洛必达,其实等价于直接对构造出来的函数求多次导。
在做解答题时,可以先用洛必达法则猜出答案,但是在写过程的时候,还是要用分类讨论的办法,把讨论的过程写清楚。
顺便也提醒高中生,不要盲目寻求一些“秒杀”的办法,最后反而弄巧成拙。
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