这篇文章面向的对象是高中生，将会讲解什么是洛必达法则。
以及在最后，会讲在高考题中怎么绕开洛必达法则。
现在在群里，高中生们问得最多的问题就是“洛必达怎么用？”、“能不能用洛必达？”。
这篇文章就要解决这个问题。
一、洛必达（L'Hopital）法则
这里就不涉及到严格的极限的定义，因为高中数学的课本中没有讲到极限的定义。
先来讲一个简单的概念：不定式。
设我们有两个函数
和
，若当
时，有
，则称分式
为
型不定式；
同样地，若当
时， 有
并且
（这里的无穷大可正可负）则称分式
为
型不定式。
上面便是洛必达法则使用的前提条件，只有在满足条件时才能“洛”。
洛必达法则的内容如下，分为
型不定式和
型不定式。
定理1（
型不定式）若当
时，
为
型不定式，
和
存在，且
不是不定式，则
；
定理2（
型不定式） 若当
时，
为
型不定式，
和
存在，且
不是不定式，则
。
要解释这个定理，只需要用到导数的定义。
（需要注意的是，在这里我用的字眼是“解释”而不是“证明”，希望大家不要有着“证明就可以用”的念头。）
先考虑定理1，根据导数的定义，
。
则
，其中
，又根据
，代入后即可得到
，即为所求结果。
再考虑定理2，当
时，若
，则
，记
，
，则
是
型不定式，对其应用定理1得：
，另一方面有
，由此解得
，也即
。
至此，便可以（不严谨地）说明上面的结论成立。
二、洛必达法则的小应用
举几个简单的小例子，来说明一下在高中的题目里，洛必达法则怎么用。
例1画出函数
的图像。
解答求导得
，因此
在
递减，在
递增。
计算得
，
，接下来只需分析当
时
的取值。
，此时发现
和
都趋于无穷大，使用洛必达法则得：
，因此
。
例2当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。
解答分离参数得
，令
，其中
。
，令
，
，因此
在
单调递增，
，因此
，
在
单调递增。
要求
恒成立，因此
，但当
时，
，此即为
型不定式。根据洛必达法则，有：
，因此
，实数
的取值范围是
。
例3当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。
解答
，又
，因此
。
当
时，
，实数
的取值范围是
。
甚至洛必达可以“洛”很多次，只要是不定式就可以“洛”，直到得到结果。
例4求极限
。
解答当
时，
，使用洛必达法则得：
，此时依旧得到的是不定式。
当
时，
，再次使用洛必达法则得：
，因此
。
三、洛必达能不能用？如何绕开洛必达法则？
其实我反复强调的是，高中数学没有极限的定义，上面的过程是不严谨的。
不同的省份改卷标准不一样，有的地方可能会给分，有的地方可能会酌情扣分，而有的地方甚至会一分都不给。
洛必达法则本来是个高等数学中非常有用的结论，但“洛必达”最后变成了一些高中生装逼用的词，遇到题目就“洛”，以为可以秒杀，但完全没有顾及到严谨性。
除此之外，许多高中生在不是不定式的情况下胡乱“洛”，最后得到一个完全错误的答案。结果这些人就开始到处问“为什么这题不能洛必达？”、“洛必达是不是错的？”。
事实上，在做题的过程中，完全可以绕开洛必达法则，达到相同的效果。
一般地说，在遇到恒成立问题时，将不等式进行分离后可以得到形如
的形式，其中
的临界值是
，且
。那么很多人就会用洛必达法则，来求出
在
处的极限
。但这样做有必要吗？
若
，则
，令
，则原不等式等价于
。我们尝试分析构造出来的这个函数。
当
时，
，一般地，要令我们只要让
在
以前单调递减，在
之后单调递增就行了。
也即
是
的极小值点，令
，可解得
，这个就和我们用洛必达法则得到的结果一样。
但如果
怎么办呢？可以再求一次导，再令
，由此解得
，就和多次应用洛必达法则一样。
由此看来，“洛必达法则”完全没有必要出现在题目里，要使用洛必达，其实等价于直接对构造出来的函数求多次导。
在做解答题时，可以先用洛必达法则猜出答案，但是在写过程的时候，还是要用分类讨论的办法，把讨论的过程写清楚。
顺便也提醒高中生，不要盲目寻求一些“秒杀”的办法，最后反而弄巧成拙。
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